Question

已知⊙O：x²+y²=1和定點(diǎn)A（2，1），由⊙O外一點(diǎn)P（a，b）向⊙O引切線PQ，切點(diǎn)為Q，且滿足PQ=PA．
（1）證明：P（a，b）在一條定直線上，并求出直線方程；
（2）求線段PQ長(zhǎng)的最小值；
（3）若以P為圓心所作的⊙P與⊙O有公共點(diǎn)，試求半徑取最小值時(shí)的⊙P方程．

Answer 1

分析：（1）連接OP，OQ，由PQ為圓O的切線，利用切線性質(zhì)得到PQ垂直于OQ，利用勾股定理得到|PQ|²=|OP|²-|OQ|²，而|PQ|=|PA|，得到平方相等，利用兩點(diǎn)間的距離公式列出關(guān)系式，化簡(jiǎn)即可得到所求的直線方程；
（2）利用兩點(diǎn)間的距離公式表示出|PQ|，將b=-2a+3代入，被開(kāi)方數(shù)為關(guān)于a的二次函數(shù)，配方求出|PQ|的最小值，以及此時(shí)a的值，即為線段PQ的最小值；
（3）設(shè)圓P的半徑為R，Q為圓P與圓O有公共點(diǎn)，圓O的半徑為1，根據(jù)兩圓有公共點(diǎn)列出關(guān)系式，再由兩點(diǎn)間的距離公式表示出|OP|，將b=-2a+3代入得到被開(kāi)方數(shù)為關(guān)于a的二次函數(shù)，配方求出二次函數(shù)的最小值以及此時(shí)a的值，求出此時(shí)b的值，確定出P坐標(biāo)，即為所求圓的圓心坐標(biāo)，求出|OP|的最小值，得出R的最小值，即為所求圓的半徑，寫(xiě)出圓P的標(biāo)準(zhǔn)方程即可．

解答：解：（1）由點(diǎn)Q為切點(diǎn)，可得PQ⊥OQ，
由勾股定理得：|PQ|²=|OP|²-|OQ|²，
又|PQ|=|PA|，
∴|PQ|²=|PA|²，即（a²+b²）-1²=（a-2）²+（b-1）²，
化簡(jiǎn)得：2a+b-3=0，
則所求直線方程為2a+b-3=0；
（2）由2a+b-3=0，得b=-2a+3，
|PQ|=

a2+b2-1

=

a2+(-2a+3)2-1

=

5a2-12a+8

=

5(a- 6 5 )2+ 4 5

，
故當(dāng)a=

6

5

時(shí)，|PQ|_min=

2 5

5

，即線段PQ長(zhǎng)的最小值為

2 5

5

；
（3）設(shè)圓P的半徑為R，Q為圓P與圓O有公共點(diǎn)，圓O的半徑為1，
∴|R-1|≤|OP|≤R+1，即R≥||OP|-1|且R≤|OP|+1，
而|OP|=

a2+b2

=

a2+(-2a+3)2

=

5(a- 6 5 )2+ 9 5

，
故當(dāng)a=

6

5

時(shí)，|OP|_min=

3 5

5

，此時(shí)b=-2a+3=

3

5

，R_min=

3 5

5

-1，
則半徑取最小值時(shí)圓P的方程為（x-

6

5

）²+（y-

3

5

）²=（

3 5

5

-1）²．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，涉及的知識(shí)有：圓的切線方程，兩點(diǎn)間的距離公式，以及二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握公式及性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．