Question

已知函數(shù)f（x）=log₂（2^x+a）（a為常數(shù)）是R上的奇函數(shù)，函數(shù)g（x）=λf（x）+x²是區(qū)間[-1，1]上的減函數(shù)．
（I）求a的值；
（II）若g（x）＜t²+λt+1在x∈[-1，1]上恒成立，求t的取值范圍；
（III）討論關(guān)于x的方程lnf（x）=x²-x+m解的情況，并求出相應(yīng)的m的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）由已知中函數(shù)f（x）=log₂（2^x+a）（a為常數(shù)）是R上的奇函數(shù)，根據(jù)奇函數(shù)的特性，定義在R上的奇函數(shù)圖象必要原點(diǎn)，將（0，0）點(diǎn)代入即可得到答案．
（II）根據(jù)（I）中的結(jié)論，我們可以求出函數(shù)g（x）的解析式，進(jìn)而根據(jù)函數(shù)g（x）=λx+x²是區(qū)間[-1，1]上的減函數(shù)，確定出函數(shù)在區(qū)間[-1，1]上的最大值，進(jìn)而將問題轉(zhuǎn)化為t²+（t+1）λ＞0，當(dāng)λ≤2恒成立，進(jìn)而求出滿足條件的t的取值范圍．
（III）由（I）中我們可得將方程lnf（x）=x²-x+m轉(zhuǎn)化為lnx-x²+x=m，構(gòu)造函數(shù)h（x）=lnx-x²+x，并利用導(dǎo)數(shù)法分析其圖象和性質(zhì)，即可得到答案．

解答：解：（I）∵函數(shù)f（x）=log₂（2^x+a）（a為常數(shù)）是R上的奇函數(shù)，
∴f（0）=log₂（2⁰+a）=log₂（1+a）=0
即a=0
（II）由（I）知f（x）=x，
∴g（x）=λx+x²，
又∵函數(shù)g（x）=λx+x²是區(qū)間[-1，1]上的減函數(shù)
∴-

λ

2

≥1
即λ≤-2
當(dāng)x=-1時(shí)，函數(shù)g（x）取最大值-λ+1
若g（x）＜t²+λt+1在x∈[-1，1]上恒成立，
只需要-λ+1＜t²+λt+1在x∈[-1，1]上恒成立，
即t²+（t+1）λ＞0，其中λ≤2恒成立，
令h（λ）=t²+（t+1）λ＞0，
則

t+1＜0 h(-2)＞0

，
即

t＜-1 t＞1+ 3 ，或t＜1- 3

∴t＜-1…（8分）
（III）由（I）得方程lnf（x）=x²-x+m
可化為lnx-x²+x=m
設(shè)h（x）=lnx-x²+x
則h′（x）=

1

x

-2x+1
令h′（x）=0
則x=

1

2

，x=-1（舍去）…（12分）
當(dāng)x∈（0，

1

2

）時(shí)，h′（x）＞0，當(dāng)x∈（

1

2

，+∞）時(shí)，h′（x）＜0，
∴x=

1

2

函數(shù)有最大值

1

4

-ln2，
∴當(dāng)m∈（

1

4

-ln2，+∞）時(shí)，原方程無解；
當(dāng)m=

1

4

-ln2時(shí)，原方程有唯一解；
當(dāng)m∈（-∞

1

4

-ln2）時(shí)，原方程有兩解．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用，函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，奇函數(shù)，函數(shù)恒成立問題，是對(duì)函數(shù)圖象、性質(zhì)、恒成立問題、與方程轉(zhuǎn)化關(guān)系的綜合考查，難度比較大．