Question

已知函數(shù)f（x）=x²+ln（x-a）（a∈R）．
（1）若f（x）有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，求a的取值范圍；
（2）當(dāng)a≤-2時(shí)，g（a）表示函數(shù)f（x）在[-1，0]上的最大值，求g（a）的表達(dá)式；
（3）求證：

3n+1

4(n+1)

+ln

n+1

＜1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

，(n∈N+)．

Answer 1

分析：（1）f（x）有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)?f′（x）=0在定義域內(nèi)有不同的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．
（2）當(dāng)a≤-2時(shí)，由（1）可知a＜x₁＜-1＜x₂＜0．及f（x）在[-1，x₂]與[x₂，0]上的單調(diào)性可得：f（x）在[-1，0]上的最大值是f（-1）和f（0）中的最大的那一個(gè)．
（3）利用（2）的結(jié)論可得：ln

n+1

n

＜1-(

n-1

n

)2=

2

n

-

1

n2

．把n依次取n，n-1，…1得到n個(gè)不等式，再相加即可得到．或利用上下歸納法也可證明．

解答：解：（1）法一：∵f（x）=x²+ln（x-a）（a∈R），∴x＞a，
∴f′(x)=2x+

1

x-a

=

2x2-2ax+1

x-a

（x＞a）．
令g（x）=2x²-2ax+1，△=4a²-8=4（a²-2）．
當(dāng)△＞0時(shí)，得a＞

2

或a＜-

2

．
若a＞

2

，則f′（x）＞0在x＞a時(shí)恒成立，此時(shí)函數(shù)f（x）無(wú)極值點(diǎn)；
若a＜-

2

，設(shè)g（x）=2x²-2ax+1=0的兩根為x₁，x₂，且x₁＜x₂．
∵

x1+x2=a＜0 x1x2= 1 2

，∴a＜x₁＜x₂，若下表：
∴當(dāng)a＜-

2

時(shí)，函數(shù)f（x）由兩個(gè)極值點(diǎn)．
法二：f′(x)=2x+

1

x-a

=

2x2-2ax+1

x-a

（x＞a）．
設(shè)g（x）=2x²-2ax+1，f（x）由兩個(gè)極值點(diǎn)?g（x）=0由兩個(gè)大于a的不等實(shí)數(shù)根x₁，x₂（x₁＜x₂）．
∴

△=4(a2-2)＞0 g(a)=2a2-2a2+1＞0 a 2 ＞a

，解得a＜-

2

，∴當(dāng)a＜-

2

時(shí)，函數(shù)f（x）由兩個(gè)極值點(diǎn)．
（2）當(dāng)a≤-2時(shí)，由（1）知

x1+x2=a≤-2 0＜x1x2= 1 2 ＜1

，∴a＜x₁＜-1＜x₂＜0．
∴f（x）在[-1，x₂]上為減函數(shù)，而在[x₂，0]上為增函數(shù)，
∴f（x）在[-1，0]上的最大值是f（-1）和f（0）中的最大的那一個(gè)．
∵f（-1）=1+ln（-1-a），f（0）=ln（-a）．
設(shè)h（a）=f（-1）-f（0）=1+ln

1+a

a

=ln

(1+a)e

a

．
∵a≤-2，∴

1

a

∈[-

1

2

，0)，∴

(a+1)e

a

=(1+

1

a

)e≥

1

2

e＞1，故h（a）＞0．
∴最大值為f（-1）．
即g（a）=f（-1）=1+ln（-1-a）（a≤-2）．
（3）由（2）可知：當(dāng)a=-2時(shí)，f（x）=x²+ln（x+2）有最大值f（-1）=1+ln（-1+2）=1．
取x=-

n-1

n

∈(-1，0]，n∈N₊．則(-

n-1

n

)2+ln(-

n-1

n

+2)＜1．
即ln

n+1

n

＜1-(

n-1

n

)2=

2

n

-

1

n2

．
法一：由ln

n+1

n

＜1-(

n-1

n

)2=

2

n

-

1

n2

，
把n依次取n，n-1，…1得到n個(gè)不等式，再相加得：
ln（n+1）＜2(1+2+…+

1

n

)-(1+

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

)
≤2(1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

)-(1+

1

2×3

+…+

1

n(n+1)

)=2(1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

)-

3n+1

2(n+1)

．
∴

3n+1

2(n+1)

+ln(n+1)＜2(1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

)．
即

3n+1

4(n+1)

+ln

n+1

＜1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

．
法二：用數(shù)學(xué)歸納法證明：
①當(dāng)n=1時(shí)，易知成立．
假設(shè)n=k時(shí)，不等式成立，即

3k+1

4(k+1)

+ln

k+1

＜1+

1

2

+

1

3

+…+

1

k

，（k∈N₊）成立．
當(dāng)n=k+1時(shí)，

3k+4

4(k+2)

+ln

k+2

-(1+

1

2

+

1

3

+…+

1

k

+

1

k+1

)
=

3k+1

4(k+1)

+ln

k+1

-(1+

1

2

+

1

3

+…+

1

k

)+ln

k+2

-ln

k+1

+

3k+4

4(k+2)

-

3k+1

4(k+1)

-

1

k+1

=

3k+1

4(k+1)

+ln

k+1

-(1+

1

2

+

1

3

+…+

1

k

)+

1

2

[ln

k+2

k+1

-

2

k+1

+

1

(k+1)(k+2)

]
＜

3k+1

4(k+1)

+ln

k+1

-(1+

1

2

+

1

3

+…+

1

k

)+

1

2

[ln

k+2

k+1

-(

2

k+2

-

1

(k+1)2

)]
＜0（由歸納假設(shè)及ln

n+1

n

＜

2

n

-

1

n2

(n∈N+))．
所以當(dāng)n=k+1時(shí)不等式也成立．
故得證．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了利用導(dǎo)數(shù)解決含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性和極值問(wèn)題，熟練掌握導(dǎo)數(shù)、三個(gè)二次及分類(lèi)討論思想方法是解題的關(guān)鍵．