Question

15．已知A（-3，0）、B（3，0），動點P（x，y）滿足|$\overrightarrow{PA}$|=2|$\overrightarrow{PB}$|
（1）求P的軌跡方程C；
（2）若直線l與x+y+3=0平行且與C相切，求l方程．

Answer 1

分析 （1）設P點的坐標為（x，y），用坐標表示|PA|、|PB|，代入等式|$\overrightarrow{PA}$|=2|$\overrightarrow{PB}$|，整理即得點P的軌跡方程；
（2）設l方程為x+y+c=0，利用圓心到直線的距離d=r，求出c，即可求l方程．

解答 解：（1）設P點的坐標為（x，y），
∵兩定點A（-3，0），B（3，0），動點P滿足|$\overrightarrow{PA}$|=2|$\overrightarrow{PB}$|，
∴（x+3）²+y²=4[（x-3）²+y²]，
即（x-5）²+y²=16．
∴此曲線的方程為（x-5）²+y²=16．
（2）設l方程為x+y+c=0，則圓心到直線的距離d=$\frac{|5+c|}{\sqrt{2}}$=4，
∴c=-5±4$\sqrt{2}$，
∴l(xiāng)方程為x+y-5±4$\sqrt{2}$=0．

點評 考查兩點間距離公式及圓的性質，著重考查直線與圓的位置關系，考查計算能力，轉化思想的應用，屬于中檔題．