Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若，證明:；

（2）若只有一個(gè)極值點(diǎn)，求的取值范圍，并證明:.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析

【解析】試題分析：（1）構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)易得，即證得結(jié)論，（2）研究導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)，先求導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)，根據(jù)a的正負(fù)分類(lèi)討論：當(dāng)時(shí)，單調(diào)，再根據(jù)零點(diǎn)存在定理得有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，先增后減，再根據(jù)零點(diǎn)存在定理得有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)；最后研究極值點(diǎn)函數(shù)值范圍：繼續(xù)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性確定取值范圍.

試題解析：（1）∵，∴要證，即證.

設(shè)，

令得，

且，單調(diào)遞増；，單調(diào)遞減，

∴，

即成立，也即.

（2）設(shè)，.

①當(dāng)時(shí)，令得;.

，單調(diào)遞増；，單調(diào)遞減.

若，恒成立，無(wú)極值；

若，即，∴.

∵，∴由根的存在性定理知，在上必有一根.

∵，下證：當(dāng)，.

令，∴.

當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞増；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，

∴當(dāng)時(shí)，，

∴當(dāng)時(shí)，，即，

由根的存在性定理知，在上必有一根.

此時(shí)在上有兩個(gè)極值點(diǎn)，故不符合題意.

②當(dāng)時(shí)，恒成立，單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，，下證：當(dāng)時(shí)，.

令，∵在上單調(diào)遞減，∴，

∴當(dāng)時(shí)，，

∴由根的存在性定理知，在上必有一根.

即有唯一的零點(diǎn)，只有一個(gè)極值點(diǎn)，且，滿(mǎn)足題意.

∴.

由題知，又，∴，

∴.

設(shè)，，

當(dāng)，單調(diào)遞減，

∴，∴成立.