Question

已知橢圓的右焦點(diǎn)為F（1，0），M為橢圓的上頂點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且△OMF是等腰直角三角形．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）是否存在直線l交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，且使點(diǎn)F為△PQM的垂心（垂心：三角形三邊高線的交點(diǎn)）？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由△△OMF是等腰直角三角形，可得b=1，a=b=，從而可得橢圓方程；
（Ⅱ）假設(shè)存在直線l交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，且使點(diǎn)F為△PQM的垂心，設(shè)直線l的方程為y=x+m，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理結(jié)合，即可求得結(jié)論．
解答：解：（Ⅰ）由△OMF是等腰直角三角形，得b=1，a=b=，
故橢圓方程為．                     …（5分）
（Ⅱ）假設(shè)存在直線l交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，且使點(diǎn)F為△PQM的垂心，
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
因?yàn)镸（0，1），F(xiàn)（1，0），所以k_PQ=1．                     …（7分）
于是設(shè)直線l的方程為y=x+m，代入橢圓方程，消元可得3x²+4mx+2m²-2=0．
由△＞0，得m²＜3，且x₁+x₂=-，x₁x₂=．    …（9分）
由題意應(yīng)有，所以x₁（x₂-1）+y₂（y₁-1）=0，
所以2x₁x₂+（x₁+x₂）（m-1）+m²-m=0．
整理得2×-（m-1）+m²-m=0．
解得m=-或m=1．                               …（12分）
經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)m=1時(shí)，△PQM不存在，故舍去．
當(dāng)m=-時(shí)，所求直線l存在，且直線l的方程為y=x-．…（13分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，屬于中檔題．