Question

已知a是實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)=

4

3

ax3+x2-(a+5)x，如果函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[-1，1]上不單調(diào)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：由f(x)=

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3

ax3+x2-(a+5)x，知f′（x）=4ax²+2x-（a+5），由函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[-1，1]上不單調(diào)，知f′（x）=4ax²+2x-（a+5）在[-1，1]內(nèi)存在零點(diǎn)，由此進(jìn)行分類討論，能夠求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：∵f(x)=

4

3

ax3+x2-(a+5)x，
∴f′（x）=4ax²+2x-（a+5），
∵函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[-1，1]上不單調(diào)，
∴f′（x）=4ax²+2x-（a+5）在[-1，1]內(nèi)存在零點(diǎn)，
①當(dāng)a=0時(shí)，f′（x）=2x-5 顯然不成立；
②存在一個(gè)零點(diǎn)，則f′（-1）•f′（1）＜0，
∴（4a-2-a-5）（4a+2-a-5）＜0，
即（3a-7）（3a-3）＜0，
解得1＜a＜

7

3

．
③存在兩個(gè)零點(diǎn)，
當(dāng)a＞0時(shí)，
則需滿足：

△=4+16a(a+5)＞0 f′(-1)=4a-2-(a+5)≥0 f′(1)=4a+2-(a+5)≥0 -1＜- 1 4a ＜1

，
解得a＞

7

3

．
當(dāng)a＜0時(shí)，
則需滿足：

△=4+16a(a+5)＞0 f′(-1)=4a-2-(a+5)≤0 f′(1)=4a+2-(a+5)≤0 -1＜- 1 4a ＜1

，
解得a＜-

5

2

-

6

，或-

5

2

+

6

＜a＜0．
綜上所述，a的取值范圍是（-∞，-

5

2

-

6

）∪（-

5

2

+

6

，0）∪（

7

3

，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查解不等式，解題時(shí)要注意分類討論思想和等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．