Question

16．如圖，Rt△ABC中，斜邊AB=2，∠A=30°，若A、B分別在大小為45°的∠O兩邊上滑動(dòng)，則OC的最大值為$\frac{3\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$．

Answer 1

分析 求出BC=1，∠B的度數(shù)，設(shè)∠ABO=α，運(yùn)用正弦定理，求得OB，在三角形OBC中，運(yùn)用余弦定理，結(jié)合三角函數(shù)的二倍角公式和兩角和差的正弦、余弦公式，化簡(jiǎn)整理，再由正弦函數(shù)的最值，即可得到OC的最大值．

解答 解：Rt△ABC中，斜邊AB=2，∠A=30°，即有BC=1，∠B=60°，
設(shè)∠ABO=α，在三角形ABO中，
$\frac{AB}{sin45°}$=$\frac{OB}{sin（135°-α）}$，
即有OB=2$\sqrt{2}$sin（135°-α）=2（sinα+cosα），
在△OBC中，OC²=OB²+BC²-2OB•BCcos（60°+α）
=4（1+sin2α）+1-4（sinα+cosα）•（$\frac{1}{2}$cosα-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinα）
=5+4sin2α-2cos²α+2$\sqrt{3}$sin²α-（1-$\sqrt{3}$）sin2α
=5+4sin2α-（1+cos2α）+$\sqrt{3}$（1-cos2α）-（1-$\sqrt{3}$）sin2α
=4+$\sqrt{3}$+（3+$\sqrt{3}$）sin2α-（1+$\sqrt{3}$）cos2α
=4+$\sqrt{3}$+（1+$\sqrt{3}$）（$\sqrt{3}$sin2α-cos2α）
=4+$\sqrt{3}$+2（1+$\sqrt{3}$）sin（2α-30°）
當(dāng)2α-30°=90°，即α=60°時(shí)，
OC²取得最大，且為6+3$\sqrt{3}$，
此時(shí)OC為$\frac{3\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$．
故答案為：$\frac{3\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正弦定理和余弦定理的運(yùn)用，主要考查三角函數(shù)的恒等變換，以及正弦函數(shù)的最值，屬于中檔題．