Question

如右圖,正方體的棱長(zhǎng)為1,P為BC的中點(diǎn),Q為線段上的動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)A,P,Q的平面截該正方體所得的截面記為S.則下列命題正確的是_____(寫出所有正確命題的編號(hào)).

①當(dāng)時(shí),S為四邊形;
②當(dāng)時(shí),S不為等腰梯形;
③當(dāng)時(shí),S與的交點(diǎn)R滿足;
④當(dāng)時(shí),S為六邊形;
⑤當(dāng)時(shí),S的面積為.

Answer 1

①②③⑤

試題分析：取AB的中點(diǎn)M,在DD₁上取點(diǎn)N,使得DN=CQ,則MN∥PQ;作AT∥MN,交直線DD₁于點(diǎn)T,則A、P、Q、T四點(diǎn)共面;
①當(dāng)0<CQ<時(shí),則0<DN<DT=2DN<1S為四邊形APQT;
②當(dāng)CQ=時(shí),則DN=DT=2DN=1點(diǎn)T與D₁重合S為等腰梯形APQD₁;
③當(dāng)CQ=時(shí),則DN=DT=2DN=D₁T=;由D₁R:TD₁=BC:DTD₁R=C₁R=;
④當(dāng)<CQ<1時(shí),<DN<1DT=2DN∈(,2),T在DD₁的延長(zhǎng)線上,設(shè)TQ與C₁D₁交于點(diǎn)E,AT與A₁D₁交于點(diǎn)F,則S為五邊形APQEF;當(dāng)CQ=1時(shí),點(diǎn)Q與C₁重合,且DT=2AT與A₁D₁交于A₁D₁的中點(diǎn)FS為菱形APC₁FS的面積=AC₁PF==.
綜上,命題正確的是:①②③⑤..