若函數(shù)f(x)滿足:在定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)x0,使f(x0+k)=f(x0)+f(k)(k為常數(shù)),則稱“f(x)關(guān)于k可線性分解”.
(1)函數(shù)f(x)=2x+x2是否關(guān)于1可線性分解?請說明理由;
(2)已知函數(shù)g(x)=lnx-ax+1(a>0)關(guān)于a可線性分解,求a的范圍;
(3)在(2)的條件下,當(dāng)a取最小整數(shù)時(shí);
(i)求g(x)的單調(diào)區(qū)間;
(ii)證明不等式:(n!)2≤en(n-1)(n∈N*).

(1)解:函數(shù)f(x)=2x+x2是關(guān)于1可線性分解,理由如下:
令h(x)=f(x+1)-f(x)-f(1)=2x+1+(x+1)2-2x-x2-2-1=2(2x-1+x-1)
∴h(0)=-1<0,h(1)=2
∴h(x)在(0,1)上至少有一個(gè)零點(diǎn)
即存在x0∈(0,1),使f(x0+1)=f(x0)+f(1);
(2)由已知,存在實(shí)數(shù)x0,使g(x0+a)=g(x0)+g(a)(a為常數(shù)),
即ln(x0+a)-a(x0+a)+1=lnx0-ax0+1+lnx-a2+1
=1

∴x0=
∵a>0,∴;
(3)(i)解:由(2)知,a=1,g(x)=lnx-x+1,(x>0)
∴x∈(0,1)時(shí),g′(x)>0,∴g(x)的增區(qū)間是(0,1);x∈(1,+∞)時(shí),g′(x)<0,∴g(x)的減區(qū)間是(1,+∞);
(ii)證明:由(i)知x∈(0,+∞),g(x)≤g(1),即lnx-x+1≤0,∴l(xiāng)nx≤x-1
∴l(xiāng)n1=0,ln2<1,ln3<2,…,lnn<n-1
相加得:ln1+ln2+…+lnn≤1+2…+(n-1)
即lnn!≤
∴(n!)2≤en(n-1)(當(dāng)且僅當(dāng)n=1時(shí)取“=”號).
分析:(1)函數(shù)f(x)=2x+x2是關(guān)于1可線性分解,令h(x)=f(x+1)-f(x)-f(1)=2(2x-1+x-1),可得h(0)=-1<0,h(1)=2,利用零點(diǎn)存在定理,即可求得結(jié)論;
(2)根據(jù)新定義,可得ln(x0+a)-a(x0+a)+1=lnx0-ax0+1+lnx-a2+1,從而可得x0=,由此可求a的范圍;
(3)(i)求導(dǎo)函數(shù),由導(dǎo)數(shù)的正負(fù),即可求得g(x)的單調(diào)區(qū)間;
(ii)先證明lnx≤x-1,再累加,即可證得結(jié)論.
點(diǎn)評:本題考查新定義,考查學(xué)生的計(jì)算能力,解題的關(guān)鍵是正確理解新定義,屬于中檔題.
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函數(shù)y=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<
π
2
)
在同一個(gè)周期內(nèi),當(dāng)x=
π
4
時(shí)y取最大值1,當(dāng)x=
12
時(shí),y取最小值-1.
(1)求函數(shù)的解析式y(tǒng)=f(x).
(2)函數(shù)y=sinx的圖象經(jīng)過怎樣的變換可得到y(tǒng)=f(x)的圖象?
(3)若函數(shù)f(x)滿足方程f(x)=a(0<a<1),求在[0,2π]內(nèi)的所有實(shí)數(shù)根之和.

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3
2
cos2x,(x∈R)

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若函數(shù)f(x)滿足f(
1
x
)=-f(x)
,則稱f(x)為倒負(fù)變換函數(shù).下列函數(shù):
y=x-
1
x
;②y=x+
1
x
;③f(x)=
-x, 0<x<1
0, x=1
x-1, x>1
中為倒負(fù)變換函數(shù)的是(  )

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