Question

已知等差數(shù)列{a_n}的首項a₁=1,公差d>0，且第2項，第5項，第14項分別是等比數(shù)列{b_n}的第2項，第3項，第4項．
（1）求數(shù)列{a_n}與{b_n}的通項公式；
(2)求數(shù)列的前n項和
（3）設(shè)數(shù)列{c_n}對任意自然數(shù)n，均有，求c₁+c₂+c₃+……+c₂₀₀₆值．

Answer 1

（1）a_n=2n-1,b_n=3^n-1.（2）見解析
（3）當(dāng)n=1時，c₁="3" 當(dāng)n≥2時， ，

試題分析：（1）利用等差數(shù)列的通項公式將第二項，第五項，第十四項用{a_n}的首項與公差表示，再據(jù)此三項成等比數(shù)列，列出方程，求出公差，利用等差數(shù)列及等比數(shù)列的通項公式求出數(shù)列{a_n}與{b_n}的通項公式．
（2）根據(jù)數(shù)列的通項公式通過裂項求解數(shù)列的和
（3）當(dāng)n≥2時，根據(jù)a_n+1-a_n，求出數(shù)列{c_n}通項公式，但當(dāng)n=1時，不符合上式，因此數(shù)列{c_n}是分段數(shù)列；然后根據(jù)通項公式即可求出結(jié)果
解：（1）由題意得（a₁+d）(a₁+13d)=(a₁+4d)²(d>0) 解得d=2,∴a_n=2n-1,b_n=3^n-1.
（3）當(dāng)n=1時，c₁="3" 當(dāng)n≥2時， ，

點評：解決該試題的關(guān)鍵是對于等差數(shù)列，等比數(shù)列基本關(guān)系式的求解和運用。