【題目】已知橢圓的離心率為
,且橢圓上一點與橢圓的兩個焦點構(gòu)成的三角形周長為
.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)設(shè)直線與橢圓
交于
,
兩點,且以
為直徑的圓過橢圓的右頂點
,求
面積的最大值.
【答案】解:(Ⅰ)因為橢圓上一點和它的兩個焦點構(gòu)成的三角形周長為
,
所以, ……………1分
又橢圓的離心率為,即
,所以
, ………………2分
所以,
. ………………4分
所以,橢圓
的方程為
. ………………5分
(Ⅱ)方法一:不妨設(shè)的方程
,則
的方程為
.
由得
, ………………6分
設(shè),
,因為
,所以
, …………7分
同理可得, ………………8分
所以,
, ………………10分
, ………………12分
設(shè),則
, ………………13分
當(dāng)且僅當(dāng)時取等號,所以
面積的最大值為
. ………………14分
方法二:不妨設(shè)直線的方程
.
由消去
得
, ………………6分
設(shè),
,
則有,
. ① ………………7分
因為以為直徑的圓過點
,所以
.
由,
得. ………………8分
將代入上式,
得.
將 ① 代入上式,解得或
(舍). ………………10分
所以(此時直線
經(jīng)過定點
,與橢圓有兩個交點),
所以
. ……………12分
設(shè),
則.
所以當(dāng)時,
取得最大值
. ……………14分
【解析】
(1)由題意可知2a+2c和e的值,所以可以求出a,b,c進(jìn)而確定橢圓方程.
(2)以AB為直徑的圓過右頂點C,實質(zhì)是,然后用坐標(biāo)表示出來,再通過直線l的方程與橢圓方程聯(lián)立,借助韋達(dá)定理和判斷式把△ABC面積表示成關(guān)于k的函數(shù),然后利用函數(shù)的方法求最值.
(Ⅰ)因為橢圓上一點和它的兩個焦點構(gòu)成的三角形周長為
,∴
, 又橢圓的離心率為
,即
,所以
,
∴,
. ………… 3分∴
,橢圓
的方程為
.……4分
(Ⅱ)由直線的方程
.聯(lián)立
消去
得
,………… 5分
設(shè),
,則有
,
. ① ……… 6分
因為以為直徑的圓過點
,所以
.由
,得
.…………… 7分
將代入上式,得
.
將 ① 代入上式,解得或
(舍). ……… 8分
所以,記直線
與
軸交點為
,則
點坐標(biāo)為
,
所以
設(shè),則
.
所以當(dāng)時,
取得最大值為
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,在四邊形中,
,
,
.將四邊形
沿對角線
折成四面體
,使平面
平面
,則下列結(jié)論中正確的結(jié)論個數(shù)是( )
①;②
;
③與平面
所成的角為
;
④四面體的體積為
.
A.個B.
個C.
個D.
個
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】微信是現(xiàn)代生活進(jìn)行信息交流的重要工具,據(jù)統(tǒng)計,某公司名員工中
的人使用微信,其中每天使用微信時間在一小時以內(nèi)的有
,其余的員工每天使用微信的時間在一小時以上,若將員工分成青年(年齡小于
歲)和中年(年齡不小于
歲)兩個階段,那么使用微信的人中
是青年人.若規(guī)定:每天使用微信時間在一小時以上為經(jīng)常使用微信,那么經(jīng)常使用微信的員工中
是青年人.
(1)若要調(diào)查該公司使用微信的員工經(jīng)常使用微信與年齡的關(guān)系,列出列聯(lián)表:
青年人 | 中年人 | 總計 | |
經(jīng)常使用微信 | |||
不經(jīng)常使用微信 | |||
總計 |
(2)由列聯(lián)表中所得數(shù)據(jù)判斷,是否有百分之的把握認(rèn)為“經(jīng)常使用微信與年齡有關(guān)”?
0.010 | 0.001 | |
6.635 | 10.828 |
附:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某公司擬購買一塊地皮建休閑公園,如圖,從公園入口沿
,
方向修建兩條小路,休息亭
與入口的距離為
米(其中
為正常數(shù)),過
修建一條筆直的鵝卵石健身步行帶,步行帶交兩條小路于
、
處,已知
,
.
(1)設(shè)米,
米,求
關(guān)于
的函數(shù)關(guān)系式及定義域;
(2)試確定,
的位置,使三條路圍成的三角形
地皮購價最低.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(本小題滿分12分)
如圖,四棱錐的底面
為菱形,
平面
,
,
分別為
的中點,
.
(Ⅰ)求證:平面平面
.
(Ⅱ)求平面與平面
所成的銳二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知拋物線焦點為
,直線
經(jīng)過點
且與拋物線
相交于
,
兩點
(Ⅰ)若線段的中點在直線
上,求直線
的方程;
(Ⅱ)若線段,求直線
的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】大型綜藝節(jié)目《最強大腦》中,有一個游戲叫做盲擰魔方,就是玩家先觀察魔方狀態(tài)并進(jìn)行記憶,記住后蒙住眼睛快速還原魔方,盲擰在外人看來很神奇,其實原理是十分簡單的,要學(xué)會盲擰也是很容易的.根據(jù)調(diào)查顯示,是否喜歡盲擰魔方與性別有關(guān).為了驗證這個結(jié)論,某興趣小組隨機抽取了50名魔方愛好者進(jìn)行調(diào)查,得到的情況如下表所示:
喜歡盲擰 | 不喜歡盲擰 | 總計 | |
男 | 23 | 30 | |
女 | 11 | ||
總計 | 50 |
表(1)
并邀請其中20名男生參加盲擰三階魔方比賽,其完成情況如下表(2)所示.
成功完成時間(分鐘) | ||||
人數(shù) | 10 | 4 | 4 | 2 |
表(2)
(Ⅰ)將表(1)補充完整,并判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下認(rèn)為是否喜歡盲擰與性別有關(guān)?
(Ⅱ)現(xiàn)從表(2)中成功完成時間在和
這兩組內(nèi)的6名男生中任意抽取2人對他們的盲擰情況進(jìn)行視頻記錄,求2人成功完成時間恰好在同一組內(nèi)的概率.
附參考公式及參考數(shù)據(jù):,其中
.
| 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖是正方體的平面展開圖,在這個正方體中,有以下四個命題:①平面ADNE;②
平面ABFE;③平面
平面AFN;④平面
平面NCF.其中正確命題的序號是( )
A.②③B.①②③C.②③④D.①②③④
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖是一種加熱食物的太陽灶,上面裝有可旋轉(zhuǎn)的拋物面形的反光鏡,鏡的軸截面是拋物線的一部分,盛食物的容器放在拋物線的焦點處,容器由若干根等長的鐵筋焊接在一起的架子支撐.已知鏡口圓的直徑為8m,鏡深1m.
(1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,求拋物線的方程和焦點的位置;
(2)若把盛水和食物的容器近似地看作點,試求每根鐵筋的長度.
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