Question

（2013•紅橋區(qū)二模）已知函數(shù)f（x）=sin²x+2sinxcosx+3cos²x．
（1）求函數(shù)f （x）的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）求函數(shù)f （x）在[-

π

4

，

π

4

]上的最值，并求出取得最值時自變量x的取值．

Answer 1

分析：（1）利用三角函數(shù)的恒等變換化簡函數(shù)f（x）的解析式為2+

2

sin（2x+

π

4

），由此可得函數(shù)的周期．
令 2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得 x 的范圍，即可得到函數(shù)的增區(qū)間．
（2）根據(jù) x∈[-

π

4

，

π

4

]，再根據(jù)正弦函數(shù)的定義域和值域，求得函數(shù)f（x） 的最值以及函數(shù)取得最值時，
x的值．

解答：解：（1）函數(shù)f（x）=sin²x+2sinxcosx+3cos²x=（sin²x+cos²x）+sin2x+2cos²x
=2+sin2x+cos2x=2+

2

sin（2x+

π

4

），
故函數(shù)的周期為

2π

2

=π．
令 2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得 kπ-

3π

8

≤x≤kπ+

π

8

，k∈z，
故函數(shù)的增區(qū)間為[kπ-

3π

8

，kπ+

π

8

]，k∈z．
（2）∵x∈[-

π

4

，

π

4

]，∴-

π

4

≤2x+

π

4

≤

3π

4

，故當(dāng) 2x+

π

4

=-

π

4

，
即x=-

π

4

時，函數(shù)f（x）=2+

2

sin（2x+

π

4

） 取得最小值為 2-

2

×

2

2

=1；
當(dāng) 2x+

π

4

=

π

2

，即x=

π

8

時，函數(shù)f（x）=2+

2

sin（2x+

π

4

） 取得最大值為 2+

2

．
綜上可得，函數(shù)f（x）的最大值為2+

2

，此時，x=

π

8

；
函數(shù)f（x）的最小值為1，此時，x=-

π

4

．

點評：本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換以及化簡求值，函數(shù)y=Asin（ωx+∅）的周期性、單調(diào)性、定義域和值域，
屬于中檔題．