【題目】已知函數(shù)．

（1）判斷函數(shù)的奇偶性，并說明理由；

（2）已知不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值；

（3）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

【答案】（1）見解析（2）（3）9個(gè)

【解析】

(1) 當(dāng)時(shí)，可得是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，可得是非奇非偶函數(shù).
(2) 當(dāng)時(shí), ,即將問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，設(shè)，只要使．然后求出的導(dǎo)數(shù)，求出函數(shù)的最小值.
（3）當(dāng)時(shí)，，得到得或，問題即求和和三個(gè)方程總的解的個(gè)數(shù)．

解：（1）函數(shù)定義域?yàn)?/span>，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．

當(dāng)時(shí)，，，

，

則是定義在上的偶函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，，，

且，

所以是非奇非偶函數(shù)．

（2）當(dāng)時(shí)，，即已知在上恒成立，

即在上恒成立，

令，只要使．

，因?yàn)?/span>，

當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，

即的最小值是，

解不等式，得．所以實(shí)數(shù)的最大值是．

（3）當(dāng)時(shí)，，解得或，

問題即求和和三個(gè)方程總的解的個(gè)數(shù)．

由（1）得函數(shù)是偶函數(shù)，

當(dāng)時(shí)，，，

當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；

所以，且

由偶函數(shù)的性質(zhì)，在上單調(diào)遞減，

在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增

方程有3個(gè)解；方程有2個(gè)解；

方程有4個(gè)解；所以函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是9個(gè)．

練習(xí)冊(cè)系列答案
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磚按行業(yè)生產(chǎn)標(biāo)準(zhǔn)分為“優(yōu)等”、“一級(jí)”、“合格”三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，主要按照每片瓷磚的“尺寸誤差”加以劃分，每片價(jià)格分別為元、元、元.若規(guī)定每片正品瓷磚的“尺寸誤差”計(jì)算方式為，設(shè)矩形瓷磚的長(zhǎng)與寬分別為(單位:) ，則“尺寸誤差”為，“優(yōu)等”瓷磚的“尺寸誤差”范圍是，“一級(jí)”瓷磚的“尺寸誤差”范圍是，“合格”瓷磚的“尺寸誤差”范圍是.現(xiàn)分別從甲、乙兩廠生產(chǎn)的正品瓷磚中隨機(jī)抽取片瓷磚，相應(yīng)的“尺寸誤差”組成的樣本數(shù)據(jù)如下:

(甲廠產(chǎn)品的“尺寸誤差”頻數(shù)表)

尺寸誤差

頻數(shù)

(乙廠產(chǎn)品的“尺寸誤差”柱狀圖)

（1）根據(jù)樣本數(shù)據(jù)分別計(jì)算甲、乙兩廠生產(chǎn)的正品瓷磚的“尺寸誤差”的平均值；

（2）若用這個(gè)樣本的頻率分布估計(jì)總體分布，求乙廠所生產(chǎn)的正品瓷磚的平均價(jià)格；

（3）現(xiàn)用分層抽樣的方法從甲廠生產(chǎn)的片樣本瓷磚中隨機(jī)抽取片，再?gòu)某槿〉?/span>片瓷磚中的“一級(jí)”瓷磚與“合格”瓷磚中隨機(jī)選.取片進(jìn)一步分析其“平整度”，求這片瓷磚的價(jià)格之和大于元的概率.

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（1）設(shè)函數(shù)，求函數(shù)的極值；

（2）若在上存在一點(diǎn)，使得成立，求的取值范圍.

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