如圖，三棱柱中，側(cè)棱平面，為等腰直角三角形，，且分別是的中點(diǎn).

（1）求證：平面；

（2）求銳二面角的余弦值.

 

（1）詳見解析，（2）

【解析】

試題分析：（1）要證明平面，需證明及，前面在平面中證明，利用勾股定理，即通過計(jì)算設(shè)，則.∴，∴.后者通過線面垂直與線線垂直的轉(zhuǎn)化得，即由面面，得面，再得。（2）求二面角的余弦值，可通過作、證、算，本題可過作,則為所求二面角的平面角.也可利用空間向量求，先建系，求出平面及平面的法向量，利用向量數(shù)量積求出兩法向量的夾角，最后根據(jù)二面角與向量夾角關(guān)系得出結(jié)論.

試題解析：（1）連結(jié)，∵是等腰直角三角形斜邊的中點(diǎn)，∴.

又三棱柱為直三棱柱，

∴面面，

∴面，. 2分

設(shè)，則.

∴，∴. 4分

又，∴ 平面. 6分

（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸建立直角坐標(biāo)系如圖，設(shè)，

則，

，. 8分

由（1）知，平面，

∴可取平面的法向量.

設(shè)平面的法向量為，

由

∴可取. 10分

設(shè)銳二面角的大小為，

則.

∴所求銳二面角的余弦值為. 12分

考點(diǎn)：線面垂直判定定理，利用空間向量求二面角

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
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A．①② B．①④ C．②③ D．③④

 

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①一定存在平面使；②一定存在平面使∥；③一定存在平面使；④一定存在無數(shù)個(gè)平面與交于一定點(diǎn).

A. ①④ B. ②③ C. ①②③ D. ②③④

 

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A． B． C． D．

 

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A． B． C． D．

 

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(A)直角三角形 (B)等邊三角形 (C)鈍角三角形 (D)等腰直角三角形

 

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（1）求角的值；

（2）若，且，求．

 

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