Question

如圖，已知橢圓＝1(a＞b＞0)的離心率為，以該橢圓上的點(diǎn)和橢圓的左、右焦點(diǎn)F₁、F₂為頂點(diǎn)的三角形的周長為4(＋1)，一等軸雙曲線的頂點(diǎn)是該橢圓的焦點(diǎn)，設(shè)P為該雙曲線上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，直線PF₁和PF₂與橢圓的交點(diǎn)分別為A、B和C、D.

(1)求橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)直線PF₁、PF₂的斜率分別為k₁、k₂，證明：k₁·k₂＝1；

(3)是否存在常數(shù)λ，使得|AB|＋|CD|＝λ|AB|·|CD|恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】解：(1)設(shè)橢圓的半焦距為c，由題意知：，

2a＋2c＝4(＋1)，

所以a＝2，c＝2.

又a²＝b²＋c²，因此b＝2.

故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＝1.

由題意設(shè)等軸雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為＝1(m＞0)，因?yàn)榈容S雙曲線的頂點(diǎn)是橢圓的焦點(diǎn)，

所以m＝2，

因此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為＝1.

(2)設(shè)A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，P(x₀，y₀)，

則k₁＝，k₂＝.

因?yàn)辄c(diǎn)P在雙曲線x²－y²＝4上，

所以x－y＝4.

因此k₁·k₂＝·＝＝1，

即k₁·k₂＝1.

 (3)由于PF₁的方程為y＝k₁(x＋2)，將其代入橢圓方程得

(2k＋1)x²－8kx＋8k－8＝0，

顯然2k＋1≠0，顯然Δ＞0.

由韋達(dá)定理得x₁＋x₂＝，x₁x₂＝.

所以|AB|＝

＝.

同理可得|CD|＝.

則，

又k₁·k₂＝1，

所以.

故|AB|＋|CD|＝|AB|·|CD|.

因此存在λ＝，使|AB|＋|CD|＝λ|AB|·|CD|恒成立．