Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

x-[x]，x≤0 f(x-1)，x＞0

，若f（x）=ax有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)[x]的定義，分別作出函數(shù)f（x）和g（x）=ax的圖象，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）=

x-[x]，x≤0 f(x-1)，x＞0

，
…
當(dāng)-2≤x＜-1時(shí)，[x]=-2，此時(shí)f（x）=x-[x]=x+2．
當(dāng)-1≤x＜0時(shí)，[x]=-1，此時(shí)f（x）=x-[x]=x+1．
當(dāng)x=0時(shí)，[x]=0，此時(shí)f（x）=0，
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，-1＜x-1＜0，此時(shí)f（x）=f（x-1）=x-1+1=x．
當(dāng)1≤x＜2時(shí)，-1≤x-2＜0，此時(shí)f（x）=f（x-2）=x-2+1=x-1．
當(dāng)2≤x＜3時(shí)，-1≤x-3＜0，此時(shí)f（x）=f（x-3）=x-3+1=x-2．
當(dāng)3≤x＜4時(shí)，-1≤x-4＜0，此時(shí)f（x）=f（x-4）=x-4+1=x-3．
…
設(shè)g（x）=ax，則g（x）過定點(diǎn)（0，0），
坐標(biāo)系中作出函數(shù)y=f（x）和g（x）的圖象如圖：

由圖可得：a∈(-1，-

1

2

]∪[

1

4

，

1

3

)，
故答案為：(-1，-

1

2

]∪[

1

4

，

1

3

)

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)的問題，利用函數(shù)零點(diǎn)和方程之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)是解決本題的根據(jù)，利用數(shù)形結(jié)合是解決函數(shù)零點(diǎn)問題的基本思想．