Question

已知直線l的方程為3x-2y-1=0，數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，點(diǎn)（a_n，S_n）在直線l上．
（I）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（II），數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（I）由題意可得3a_n-2S_n-1=0 ①，故有 3a_n+1-2s_n+1-1=0 ②，②-①可得 a_n+1=3a_n．故數(shù)列{a_n}是公比q=3的等比數(shù)列．在①中，令n=1可得 a₁=1，由此求得求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（II）由（I）可得 S_n的解析式，從而得到{b_n}的通項(xiàng)公式及T_n的解析式，化簡(jiǎn)f（n）=的解析式為，利用基本不等式求出f（n） 的最大值．
解答：解：（I）由題意可得3a_n-2S_n-1=0  ①，∴3a_n+1-2s_n+1-1=0  ②．
②-①可得 3a_n+1-3a_n=2a_n+1，即 a_n+1=3a_n．
故數(shù)列{a_n}是公比q=3的等比數(shù)列．
在①中，令n=1可得 a₁=1，∴a_n=1×3^n-1=3^n-1．
（II）由以上可得 S_n==．
∵=3n，∴T_n=，
∴===≤，當(dāng)且僅當(dāng)n=4時(shí)，等號(hào)成立．
∴f（n）=的最大值等于．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查基本不等式的應(yīng)用，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，求出首項(xiàng)和公比，是解題的關(guān)鍵．