Question

已知{a_n}是公差不為零的等差數(shù)列，{b_n}等比數(shù)列，滿足b₁=a₁²，b₂=a₂²，b₃=a₃²．
（I）求數(shù)列{b_n}公比q的值；
（II）若a₂=-1且a₁＜a₂，求數(shù)列{a_n}公差的值．

Answer 1

解：（I）：設(shè)等差數(shù)列的公差為d
∵b₂²=b₁b₃∴（a₁+d）⁴=a₁²（a₁+2d）²
∴（a₁+d）²=a₁（a₁+2d） 或（a₁+2d）²=-a₁（a₁+2d）
∴d=0（舍去）或 d²+4a₁d+2a₁²=0
∴
（1）當(dāng)時，
（2）當(dāng)時，
綜上或
（II）（法一）∵a₁＜a₂＜0∴a₁²＞a₂²，0＜q＜1∴
∵b₂=a₂²=1即b₁q=1
∴
∴∴，∴
（法二）a₁＜a₂＜0，∴a₁²＞a₂²，0＜q＜1∴
∴
得
分析：（I）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由題意可得，b₂²=b₁b₃，代入等差數(shù)列的通項公式可得 （a₁+d）⁴=a₁²（a₁+2d）²，解方程可得，，分別代入等比數(shù)列的通項可求公比
（II）（法一）a₁＜a₂＜0 可得，a₁²＞a₂² 則0＜q＜1，從而可求公比
結(jié)合已知b₂=a₂²=1可得b₁q=1，可求b₁，a₁，進一步可求公差d
（法二）同法一可得公比q，則有解方程可得 d
點評：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合運算的考查是近幾年高考在數(shù)列部分的考查重點與熱點，對考生的基本要求是數(shù)列掌握基本定義、基本公式，具備一定的推理運算的能力．