Question

13．已知點A（0，1）、B（0，-1）、C（2，0）、D（2，1），直線l：y=2，點R是圓O：x²+y²=1上的動點，直線RA、RB分別交直線l于點E、F．
（1）若點E的坐標是（2，2），求△ROA的面積；
（2）當點R變化時，以EF為直徑的圓是否過定點，若過定點，求出定點坐標，若不過定點，請說明理由；
（3）對于線段AC上的任意一點P，若在以D為圓心的圓上總存在不同的兩點M、N，使得點M是線段PN的中點，求圓D的半徑r的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由條件求得RA的斜率，再用點斜式求得直線RA的方程，再利用點到直線的距離公式、弦長公式求得圓心O到直線RA的距離為d、弦長RA的值，可得△ROA的面積為$\frac{1}{2}$•RA•d的值．
（2）由條件求得EF的中點（$\frac{1-{2y}_{0}}{{x}_{0}}$，2），以EF為直徑的圓截y軸得到的弦長為2$\sqrt{3}$，為定值，可得以EF為直徑的圓必定經(jīng)過定點（0，2+$\sqrt{3}$）、（0，2-$\sqrt{3}$）．
（3）由題意可得以點D（2，1）為圓心、以r為半徑的圓和以點（-m+4，-n+2）為圓心、以2r為半徑的圓有交點，即兩圓的圓心距大于或等于半徑之差而小于或等于半徑之和，化簡可得，r²≤5n²-2n+1≤9r² 對于任意的n∈[0，1]都成立．根據(jù)函數(shù)f（n）=5n²-2n+1在∈[0，1]上的值域，可得，r²≤$\frac{4}{5}$，4≤9r²．再由線段AC和圓D無公共點，求得r²＜$\frac{4}{5}$，從而求得r的范圍．

解答 解：（1）若點E的坐標是（2，2），直線RA的斜率即直線AE的斜率$\frac{2-1}{2-0}$=$\frac{1}{2}$，
直線RA的方程，即AE得方程，為 y=$\frac{1}{2}$x+1，即x-2y+2=0，求得圓心O到直線RA的距離為d=$\frac{|0-0+2|}{\sqrt{1+4}}$=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，
故弦長RA=2$\sqrt{1{-（\frac{2}{\sqrt{5}}）}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，∴△ROA的面積為$\frac{1}{2}$•RA•d=$\frac{1}{2}$•$\frac{2\sqrt{5}}{5}$•$\frac{2}{\sqrt{5}}$=$\frac{2}{5}$．
（2）設點R（x₀，y₀），則 ${{x}_{0}}^{2}$+${{y}_{0}}^{2}$=1，RA的方程為y=$\frac{{y}_{0}-1}{{x}_{0}}$x+1，再把y=2代入可得x_E=$\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}-1}$．
同理求得 x_F=$\frac{{3x}_{0}}{{y}_{0}+1}$，∴E（$\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}-1}$，2），F(xiàn)（$\frac{{3x}_{0}}{{y}_{0}+1}$，2），
∴EF=|$\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}-1}$-$\frac{{3x}_{0}}{{y}_{0}+1}$|=|$\frac{2{（y}_{0}-2）}{{x}_{0}}$|，故EF的中點（$\frac{1-{2y}_{0}}{{x}_{0}}$，2），
故以EF為直徑的圓截y軸得到的弦長為2$\sqrt{{（\frac{{y}_{0}-2}{{x}_{0}}）}^{2}{-（\frac{1-{2y}_{0}}{{x}_{0}}）}^{2}}$=2$\sqrt{\frac{3-{{3y}_{0}}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}}}$=2$\sqrt{3}$，為定值．
∴以EF為直徑的圓必定經(jīng)過定點（0，2+$\sqrt{3}$）、（0，2-$\sqrt{3}$）．
（3）直線AC的方程為x+2y-2=0，設P（m，n）、N（x，y），則 M（$\frac{m+x}{2}$ $\frac{n+y}{2}$），
∵M、N在圓D上，∴$\left\{\begin{array}{l}{{（x-2）}^{2}{+（y-1）}^{2}{=r}^{2}}\\{{（\frac{m+x}{2}-2）}^{2}{+（\frac{n+y}{2}-1）}^{2}{=r}^{2}}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{{（x-2）}^{2}{+（y-1）}^{2}{=r}^{2}}\\{{（x+m-4）}^{2}{+（y+n-2）}^{2}={4r}^{2}}\end{array}\right.$，
根據(jù)關于x、y的方程組有解，
可得以點D（2，1）為圓心、以r為半徑的圓和以點（-m+4，-n+2）為圓心、以2r為半徑的圓有交點，
∴（2r-r）²≤（-m+4-2）²+（-n+2-1）²≤（2r+r）²．
由于點P在線段AC上，故有m+2n-2=0，∴r²≤5n²-2n+1≤9r² 對于任意的n∈[0，1]都成立．
而函數(shù)f（n）=5n²-2n+1在∈[0，1]上的值域為[$\frac{4}{5}$，4]，∴r²≤$\frac{4}{5}$，4≤9r²．
又線段AC和圓D無公共點，∴（2-2n-2）²+（n-1）²＞r²，求得r²＜$\frac{4}{5}$，
故r的范圍是[$\frac{2}{3}$，$\frac{2\sqrt{5}}{5}$）．

點評 本題主要考查直線和圓的方程的應用，直線和圓、圓和圓的位置關系，點到直線的距離公式、弦長公式的應用，屬于難題．