Question

已知函數(shù)f(x)=x³-x²+ax+b(a，b∈R)的一個(gè)極值點(diǎn)為x=1，方程ax²+x+b=0的兩個(gè)實(shí)根為α，β（α＜β），函數(shù)f(x)在區(qū)間[α，β]上是單調(diào)的，
(Ⅰ)求a的值和b的取值范圍；
(Ⅱ)若x₁，x₂∈[α，β]，證明：|f(x₁)-f(x₂)|≤1。

Answer 1

(Ⅰ)解：∵f(x)=x³-x²+ax+b，
∴f′(x)=3x²-2x+a，
∵f(x)=x³-x²+ax+b的一個(gè)極值點(diǎn)為x=1，
∴ f′(1)=3×1²-2×1+a=0，∴a=-1，
∴f′(x)=3x²-2x-1=(3x+1)(x-1)，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)x＞1時(shí)，；
∴函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
∵方程ax²+x+b=0的兩個(gè)實(shí)根為α，β，即x²-x-b=0的兩根為α，β（α＜β），
∴，
∴，
∵函數(shù)f(x)在區(qū)間[α，β] 上是單調(diào)的，
∴區(qū)間[α，β]只能是區(qū)間之一的子區(qū)間，
由于，故，
若α＜0，則α+β＜1，與α+β=1矛盾；
∴，
∴方程x²-x-b=0的兩根為α，β都在區(qū)間[0，1]上，
令的對(duì)稱軸為，
則，解得：，
∴實(shí)數(shù)b的取值范圍是。
(Ⅱ)證明：由(Ⅰ)可知函數(shù)f(x)在區(qū)間[α，[α，β]]上單調(diào)遞減，
∴函數(shù)f(x)在區(qū)間[α，β]上的最大值為f（α），最小值為f(β)，
∵x₁，x₂∈[α，β]，
∴

令，則，
，
設(shè)，則，
∵，
∴，
∴，
∴函數(shù)在(0，1]上單調(diào)遞增，
∴h(t)≤h(1)=1，
∴|f(x₁)-f(x₂)|≤1。