Question

設圓C與兩圓(x＋)²＋y²＝4，(x－)²＋y²＝4中的一個內切，另一個外切．
(1)求C的圓心軌跡L的方程；
(2)已知點M(，)，F(xiàn)(，0)，且P為L上動點，求||MP|－|FP||的最大值及此時點P的坐標．

Answer 1

（1）－y²＝1
（2）(，－)

(1)依題意得兩圓的圓心分別為F₁(－，0)，F(xiàn)₂(，0)，從而可得|CF₁|＋2＝|CF₂|－2或|CF₂|＋2＝|CF₁|－2，
所以||CF₂|－|CF₁||＝4＝2a<|F₁F₂|＝2＝2c，
所以圓心C的軌跡是以原點為中心，焦點在x軸上，且實軸長為4，焦距為2的雙曲線，
因此a＝2，c＝，b²＝c²－a²＝1，
故C的圓心軌跡L的方程為－y²＝1．
(2)過點M，F(xiàn)的直線l的方程為y＝－2(x－)，將其代入－y²＝1中，解得x₁＝，x₂＝，故直線l與L的交點為T₁(，－)，T₂(，)，
因為T₁在線段MF外，T₂在線段MF上，
所以||MT₁|－|FT₁||＝|MF|＝2，||MT₂|－|FT₂||<|MF|＝2．
若點P不在MF上，則||MP|－|FP||<|MF|＝2．
綜上所述，||MP|－|FP||只在點T₁處取得最大值，
即||MP|－|FP||的最大值為2，
此時點P的坐標為(，－)．