Question

已知⊙M：x²+（y-2）²=1，Q是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，QA，QB分別切⊙M于A，B兩點(diǎn)．
（1）若|AB|=

4 2

3

，求|MQ|、Q點(diǎn)的坐標(biāo)以及直線MQ的方程；
（2）求證：直線AB恒過定點(diǎn)．

Answer 1

考點(diǎn)：直線和圓的方程的應(yīng)用

專題：直線與圓

分析：（1）問利用平面幾何的知識，根據(jù)勾股定理、射影定理可以解決；
（2）問設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)，由幾何性質(zhì)，可知A、B兩點(diǎn)在以QM為直徑的圓上，線段AB是此圓與已知圓的公共弦，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（1）設(shè)直線MQ交AB于點(diǎn)P，則|AP|=

2

3

2

，
又|AM|=1，AP⊥MQ，AM⊥AQ，得|MP|=

1-( 2 2 3 )2

=

1

3

，
∵|MQ|=

|MA|2

|MP|

，∴|MQ|=3．
設(shè)Q（x，0），而點(diǎn)M（0，2），由

x2+22

=3，得x=±

5

，
則Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（

5

，0）或（-

5

，0）．
從而直線MQ的方程為2x+

5

y-2

5

=0或2x-

5

y+2

5

=0．
（2）證明：設(shè)點(diǎn)Q（q，0），由幾何性質(zhì)，
可知A、B兩點(diǎn)在以QM為直徑的圓上，此圓的方程為x（x-q）+y（y-2）=0，
而線段AB是此圓與已知圓的公共弦，
即為qx-2y+3=0，
∴直線AB恒過定點(diǎn)（0，

3

2

）．

點(diǎn)評：本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查直線恒過定點(diǎn)，考查平面幾何的知識，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．