Question

1．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1，直線l：x-y+10=0，
（Ⅰ）若M（x，y）為橢圓上的點(diǎn)，求x-y的最大值；
（Ⅱ）P為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線l的距離的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)出P的坐標(biāo)，代入表達(dá)式利用三角函數(shù)的最值求解即可．
（Ⅱ）利用點(diǎn)到直線的距離公式，結(jié)合輔助角公式，即可求出到直線l：y=x+1的距離的最大值．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)P（2cosθ，sinθ），θ∈R，
則x-y=2cosθ-sinθ=$\sqrt{5}$cos（θ+β），其中tanβ=2．
x-y的最大值為：$\sqrt{5}$．
（Ⅱ）P到直線l：x-y+10=0的距離d=$\frac{\left|2cosθ-sinθ+10\right|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|\sqrt{5}cos（θ+β）+10|}{\sqrt{2}}$，其中tanβ=2
∴P到直線l：x-y+10=0的距離的最大值是$\frac{\sqrt{5}+10}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{10}+10\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的參數(shù)方程，點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，是中檔題．