Question

在兩條平行的直線AB和CD上分別取定一點(diǎn)M和N，在直線AB上取一定線段ME=a；在線段MN上取一點(diǎn)K，連接EK并延長(zhǎng)交CD于F．試問(wèn)K取在哪里△EMK與△FNK的面積之和最小？最小值是多少？

Answer 1

分析：先作兩條平行直線的公垂線PQ，設(shè)出PQ、MN，然后令PK=x，則可表示出KQ，再根據(jù)△EMK∽△FNK，△MKP∽△NKQ，判斷出

ME

NF

=

MK

NK

.

MK

NK

=

KP

KQ

.，進(jìn)而可求得NF，再表示出△EMK與△FNK的面積之和，根據(jù)均值不等式，求得面積之和最小時(shí)x的值，并求得面積的最小值．

解答：解：過(guò)點(diǎn)K作兩條平行直線的公垂線PQ，
設(shè)PQ=l，MN=m，
令PK=x，則KQ=l-x
∴△EMK∽△FNK，
∴

ME

NF

=

MK

NK

.
又∵△MKP∽△NKQ，
∴

MK

NK

=

KP

KQ

.
于是得到

ME

NF

=

KP

KQ

，NF=

ME•KQ

KP

=

a(l-x)

x

.
從而△EMK與△FNK的面積之和為
A=

1

2

•x•a+

1

2

•(l-x)•

a(l-x)

x

=

a

2

[x+

(l-x)2

x

]
=

a

2

•

2x2-2lx+l2

x

=a•(x-l+

l2

2x

)
=a[(

x

-

l

2x

)2+(

2

-1)l]
∴當(dāng)

x

-

l

2x

=0時(shí)，也即x=

2

2

時(shí)，
A有最小值(

2

-1)al.x=

2

2

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了解三角形的實(shí)際應(yīng)用．考查了學(xué)生綜合分析問(wèn)題和基本的運(yùn)算能力．