【題目】已知數(shù)列，，且對(duì)任意n恒成立．

（1）求證：(n)；

（2）求證：(n)．

【答案】（1）見解析（2）見解析

【解析】

（1）利用數(shù)學(xué)歸納法直接證明，假設(shè)當(dāng)時(shí)，成立，則當(dāng)時(shí)，，將代入即可證得：當(dāng)時(shí)，成立，問題得證。

（2）利用數(shù)學(xué)歸納法證明，先證明時(shí)，成立，假設(shè)當(dāng)時(shí)， 成立，證明：當(dāng)時(shí)，成立，

因?yàn)?/span>，可將證明問題轉(zhuǎn)化成：證明，轉(zhuǎn)化成證明，再轉(zhuǎn)化成證明（）成立。構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)即可判函數(shù)在上遞增，結(jié)合，即可證得：當(dāng)時(shí)，成立，即可證得：當(dāng)，成立，問題得證。

（1）①當(dāng)時(shí)，

滿足成立.

②假設(shè)當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立.即：成立

下證：當(dāng)時(shí)，成立。

因?yàn)?/span>

即：當(dāng)時(shí)，成立

由①、②可知，(n)成立。

（2）（�。┊�(dāng)時(shí)，成立，

當(dāng)時(shí)，成立，

（ⅱ）假設(shè)時(shí)（），結(jié)論正確，即：成立

下證：當(dāng)時(shí)，成立.

因?yàn)?/span>

要證，

只需證

只需證：，

只需證：

即證：（）

記

當(dāng)時(shí)，

所以在上遞增，

又

所以，當(dāng)時(shí)，恒成立。

即：當(dāng)時(shí)，成立。

即：當(dāng)時(shí)，恒成立.

所以當(dāng)，恒成立.

由（ⅰ）（ⅱ）可得：對(duì)任意的正整數(shù)，不等式恒成立，命題得證.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】語文中回文句，如:“黃山落葉松葉落山黃，西湖垂柳絲柳垂湖西.”，倒過來讀完全一樣，數(shù)學(xué)中也有類似現(xiàn)象，無論從左往右讀，還是從右往左讀，都是同一個(gè)數(shù)，稱這樣的數(shù)為“回文數(shù)”!二位的回文數(shù)有11，22，33，44，55，66，77，88，99，共9個(gè);三位的回文數(shù)有101，111，121，131，…，969，979，989，999，共90個(gè);四位的回文數(shù)有1001，1111，1221，…，9669，9779，9889，999，共90個(gè);五位的回文數(shù)有10001，11111，12221，…，96669，97779，98889，99999共900個(gè)，由此推測(cè):10位的回文數(shù)總共有_______個(gè).

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)， 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知點(diǎn)的直角坐標(biāo)為，若直線的極坐標(biāo)方程為曲線的參數(shù)方程是（為參數(shù)）.

（1）求直線和曲線的普通方程；

（2）設(shè)直線和曲線交于兩點(diǎn)，求

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】排一張5個(gè)獨(dú)唱和3個(gè)合唱的節(jié)目單，如果合唱不排兩頭，且任何兩個(gè)合唱不相鄰，則這種事件發(fā)生的概率是（ ）

A.B.C.D.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某研究機(jī)構(gòu)為了了解各年齡層對(duì)高考改革方案的關(guān)注程度，隨機(jī)選取了200名年齡在內(nèi)的市民進(jìn)行了調(diào)查，并將結(jié)果繪制成如圖所示的頻率分布直方圖（分第一～五組區(qū)間分別為，，，，，）.

（1）求選取的市民年齡在內(nèi)的人數(shù)；

（2）若從第3,4組用分層抽樣的方法選取5名市民進(jìn)行座談，再從中選取2人在座談會(huì)中作重點(diǎn)發(fā)言，求作重點(diǎn)發(fā)言的市民中至少有一人的年齡在內(nèi)的概率.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】隨著高考制度的改革，某省即將實(shí)施“語數(shù)外+3”新高考的方案，2019年秋季入學(xué)的高一新生將面臨從物理（物）、化學(xué)（化）、生物（生）、政治（政）、歷史（歷）、地理（地）六科中任選三科（共20種選法）作為自己將來高考“語數(shù)外+3”新高考方案中的“3”某市為了順利地迎接新高考改革，在某高中200名學(xué)生中進(jìn)行了“學(xué)生模擬選科數(shù)據(jù)”調(diào)查，每個(gè)學(xué)生只能從表格中的20種課程組合中選擇一種學(xué)習(xí)模擬選課數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下表：

為了解學(xué)生成績與學(xué)生模擬選課情況之問的關(guān)系，用分層抽樣的方法從這200名學(xué)生中抽取40人的樣本進(jìn)行分析

(1)從選擇學(xué)習(xí)物理且學(xué)習(xí)化學(xué)的學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，求這3人中至少有2人要學(xué)習(xí)生物的概率：

(2)從選擇學(xué)習(xí)物理且學(xué)習(xí)化學(xué)的學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，記這3人中要學(xué)習(xí)地理的人數(shù)為x，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】南方智運(yùn)汽車公司在我市推出了共享汽車“Warmcar”,有一款車型為“眾泰云”新能源共享汽車，其中一種租用方式“分時(shí)計(jì)費(fèi)”規(guī)則為：0.15元/分鐘+0.8元/公里．已知小李家離上班地點(diǎn)為10公里，每天租用該款汽車上、下班各一次，由于堵車、及紅綠燈等原因每次路上開車花費(fèi)的時(shí)間（分鐘）是一個(gè)隨機(jī)變量，現(xiàn)統(tǒng)計(jì)了100次路上開車花費(fèi)時(shí)間，在各時(shí)間段內(nèi)是頻數(shù)分布情況如下表所示：

時(shí)間（分鐘）

頻數(shù)

2

6

14

36

28

10

4

（1）寫出小李上班一次租車費(fèi)用（元）與用車時(shí)間（分鐘）的函數(shù)關(guān)系；

（2）根據(jù)上面表格估計(jì)小李平均每次租車費(fèi)用；

（3）“眾泰云”新能源汽車還有一種租用方式為“按月計(jì)費(fèi)”，規(guī)則為每個(gè)月收取租金2350元，若小李每個(gè)月上班時(shí)間平均按21天計(jì)算，在不計(jì)電費(fèi)和情況下，請(qǐng)你為小李選擇一種省錢的租車方式．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】從某校隨機(jī)抽取100名學(xué)生，獲得了他們一周課外閱讀時(shí)間（單位：小時(shí)）的數(shù)據(jù)，整理得到數(shù)據(jù)分組及頻數(shù)分布表和頻率分布直方圖：

（1）從該校隨機(jī)選取一名學(xué)生，試估計(jì)這名學(xué)生該周課外閱讀時(shí)間少于12小時(shí)的概率；

（2）求頻率分布直方圖中的a，b的值；

（3）假設(shè)同一組中的每個(gè)數(shù)據(jù)可用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替，試估計(jì)樣本中的100名學(xué)生該周課外閱讀時(shí)間的平均數(shù)在第幾組（只需寫出結(jié)論）

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】近年來，某地區(qū)積極踐行“綠水青山就是金山銀山”的綠色發(fā)展理念年年初至年年初，該地區(qū)綠化面積（單位：平方公里）的數(shù)據(jù)如下表：

年份

年份代號(hào)

綠化面積

（1）求關(guān)于的線性回歸方程；

（2）利用（1）中的回歸方程，預(yù)測(cè)該地區(qū)年年初的綠化面積，并計(jì)算年年初至年年初，該地區(qū)綠化面積的年平均增長率約為多少.

（附：回歸直線的斜率與截距的最小二乘法估計(jì)公式分別為，）

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案