Question

各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，已知2(Sn+1)=an2+an．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若數(shù)列{b_n}滿足b₁=2，b_n+1=2b_n，數(shù)列{c_n}滿足cn=

an (n為奇數(shù)) bn (n為偶數(shù))

，數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為T_n，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，求T_n；
（Ⅲ）同學(xué)甲利用第（Ⅱ）問中的T_n設(shè)計(jì)了一個(gè)程序如圖，但同學(xué)乙認(rèn)為這個(gè)程序如果被執(zhí)行會(huì)是一個(gè)“死循環(huán)”（即程序會(huì)永遠(yuǎn)循環(huán)下去，而無法結(jié)束）．你是否同意同學(xué)乙的觀點(diǎn)？請說明理由．

Answer 1

分析：（I）由題意及2（S_n+1）=a_n²+a_n（n∈N^*），令n=1，求得數(shù)列的首項(xiàng)，再利用已知數(shù)列的前n項(xiàng)和與通項(xiàng)之間的關(guān)系，即可求出數(shù)列的通項(xiàng)；
（II）數(shù)列{b_n}滿足b₁=2，b_n+1=2b_n（n∈N^*），可以求出數(shù)列b_n的通項(xiàng)公式，再有數(shù)列{c_n}滿足cn=

an，n=2k-1 bn，n=2k

(k∈N*)，利用分組求和求出數(shù)列c_n的前n項(xiàng)的和；
（III）由題意及（2）可知n為偶數(shù)，即dn=Tn-Pn=

4

3

•2n-

47

2

n-

4

3

，由于d_n+2-d_n=2ⁿ⁺²-47分析該式即可．

解答：解：（Ⅰ）當(dāng)n=1時(shí)，由2(S1+1)=a12+a1，解得a₁=2，
當(dāng)n≥2時(shí)，由2(Sn+1)=an2+an，得2(Sn-1+1)=an-12+an-1．
兩式相減，并利用a_n=S_n-S_n-1，求得a_n-a_n-1=1．
∴數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為2，公差為1的等差數(shù)列．∴a_n=n+1（n∈N^*）．
（Ⅱ）∵{b_n}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，∴bn=2n．
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Tn=(a1+a3+…+an-1)+(22+24+…+2n)=

a1+an-1

2

•

n

2

+

4(1-2n)

1-4

=

n2+2n

4

+

4

3

(2n-1)．
（Ⅲ）∵Pn=

n2

4

+24n（n為偶數(shù)），設(shè)dn=Tn-Pn=

4

3

•2n-

47

2

n-

4

3

（n為偶數(shù)），
∴d₄＜d₆＜d₈＜d₁₀＜2007＜d₁₂＜d₁₄＜…．且d₂＜2007，（利用數(shù)列的單調(diào)性或函數(shù)的單調(diào)性判斷）
∴d_n≠2007，即T_n-P_n≠2007（n為偶數(shù)）．
因此同學(xué)乙的觀點(diǎn)正確．

點(diǎn)評：此題以程序圖為載體考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，考查了已知數(shù)列的前n項(xiàng)和求數(shù)列的通項(xiàng)，等比數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式，還考查了學(xué)生分類討論的思想．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．