Question

設(shè)f（x）=asin2x+bcos2x，其中a，b∈R，ab≠0．若f（x）≤|f(

π

6

)|對(duì)一切x∈R恒成立，則    
①f（-

π

12

）=0；      
②|f（

7π

12

）|＜|f(

π

5

)|；
③f（x）既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)；  
④f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]（k∈Z）；   
⑤存在經(jīng)過點(diǎn)（a，b）的直線與函數(shù)f（x）的圖象不相交．
以上結(jié)論正確的是（　�。�

• A、①②
• B、①②③
• C、④⑤
• D、③④⑤

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用,正弦函數(shù)的定義域和值域,正弦函數(shù)的單調(diào)性

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：利用條件f（x）≤|f(

π

6

)|對(duì)一切x∈R恒成立，可知：當(dāng)x=

π

6

時(shí)，f（x）取得最值，因此f(

π

6

)=±

a2+b2

，可得a=

3

b，可得f（x）．再利用三角函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性等即可判斷出．

解答： 解：∵f（x）≤|f(

π

6

)|對(duì)一切x∈R恒成立，∴f(

π

6

)=±

a2+b2

，∴asin

π

3

+bcos

π

3

=±

a2+b2

，
化為a=

3

b．
∴f（x）=2bsin(2x+

π

6

)．
①f（-

π

12

）=2bsin(-

π

12

×2+

π

6

)=0，正確；      
②|f（

7π

12

）|=|2bsin(

7π

6

+

π

6

)|=|2bsin

2π

3

|，|f(

π

5

)|=|2bsin(

2π

5

+

π

6

)|=|2bsin

17π

30

|．
∵

π

2

＜

17π

30

＜

2π

3

＜π，∴1＞sin

17π

30

＞sin

2π

3

＞0，
又b≠0，∴|f(

7π

12

)|＜|f(

π

5

)|；因此正確．
③∵f（-x）≠±f（x），∴f（x）既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，正確；  
④由-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，解得-

π

3

+kπ≤x≤

π

6

+kπ（k∈Z）．
由

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

3π

2

+2kπ，解得

π

6

+kπ≤x≤

2π

3

+kπ（k∈Z）．
當(dāng)b＜0時(shí)，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]（k∈Z）；  
當(dāng)b＞0時(shí)，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是[-

π

3

+kπ，

π

6

+kπ]（k∈Z）．
因此函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間與b的正負(fù)有關(guān)，因此④不正確．
⑤∵f（x）≤|f(

π

6

)|=

a2+b2

，∴不存在經(jīng)過點(diǎn)（a，b）的直線與函數(shù)f（x）的圖象不相交，因此⑤不正確．
綜上可知：只有①②③正確．
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查了應(yīng)用知識(shí)解決實(shí)際問題的能力，屬于難題．