Question

【題目】如圖，四棱錐P﹣ABCD，側(cè)面PAD是邊長為2的正三角形，且與底面垂直，底面ABCD是∠ABC=60°的菱形，M為PC的中點．
（Ⅰ） 求證：PC⊥AD；
（Ⅱ） 在棱PB上是否存在一點Q，使得A，Q，M，D四點共面？若存在，指出點Q的位置并證明；若不存在，請說明理由；
（Ⅲ） 求點D到平面PAM的距離．

Answer 1

【答案】Ⅰ）證法一：取AD中點O，連結(jié)OP，OC，AC，
依題意可知△PAD，△ACD均為正三角形，
所以O(shè)C⊥AD，OP⊥AD，又OC∩OP=O，OC平面POC，OP平面POC，
所以AD⊥平面POC，又PC平面POC，
所以PC⊥AD．
證法二：連結(jié)AC，依題意可知△PAD，△ACD均為正三角形，
又M為PC的中點，所以AM⊥PC，DM⊥PC，
又AM∩DM=M，AM平面AMD，DM平面AMD，
所以PC⊥平面AMD，
又AD平面AMD，所以PC⊥AD．（Ⅱ）解：當(dāng)點Q為棱PB的中點時，A，Q，M，D四點共面，
證明如下：
取棱PB的中點Q，連結(jié)QM，QA，又M為PC的中點，所以QM∥BC，
在菱形ABCD中AD∥BC，所以QM∥AD，
所以A，Q，M，D四點共面．
（Ⅲ）解：點D到平面PAM的距離即點D到平面PAC的距離，
由（Ⅰ）可知PO⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD=AD，PO平面PAD，
所以PO⊥平面ABCD，即PO為三棱錐P﹣ACD的體高．
在Rt△POC中， ， ，
在△PAC中，PA=AC=2， ，邊PC上的高AM= ，
所以△PAC的面積 ，
設(shè)點D到平面PAC的距離為h，
由VD﹣PAC=VP﹣ACD得
，
又 ，
所以 ，
解得 ，
所以點D到平面PAM的距離為 ．

【解析】（Ⅰ）法一：取AD中點O，連結(jié)OP，OC，AC，依題意可知△PAD，△ACD均為正三角形，從而AD⊥平面POC，由此能證明PC⊥AD．
法二：連結(jié)AC，依題意可知△PAD，△ACD均為正三角形，從而AM⊥PC，DM⊥PC，由此能證明PC⊥AD．（Ⅱ）當(dāng)點Q為棱PB的中點時，A，Q，M，D四點共面．取棱PB的中點Q，連結(jié)QM，QA，由已知得QM∥BC，由此能證明A，Q，M，D四點共面．（Ⅲ）點D到平面PAM的距離即點D到平面PAC的距離，由已知得得PO為三棱錐P﹣ACD的體高，由VD﹣PAC=VP﹣ACD ， 能求出點D到平面PAM的距離．
【考點精析】本題主要考查了空間中直線與直線之間的位置關(guān)系的相關(guān)知識點，需要掌握相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個公共點；平行直線：同一平面內(nèi)，沒有公共點；異面直線： 不同在任何一個平面內(nèi)，沒有公共點才能正確解答此題．