Question

某工廠師徒二人各加工相同型號的零件2個，是否加工出精品均互不影響．已知師父加工一個零件是精品的概率為

2

3

，師徒二人各加工2個零件都是精品的概率為

1

9

．
（Ⅰ）求徒弟加工2個零件都是精品的概率；
（Ⅱ）求徒弟加工該零件的精品數(shù)多于師父的概率；
（Ⅲ）設(shè)師徒二人加工出的4個零件中精品個數(shù)為ξ，求ξ的分布列與均值Eξ．

Answer 1

分析：（Ⅰ）師徒二人各加工相同型號的零件2個，加工出精品均互不影響，師徒二人各加工2個零件都是精品的概率為

1

9

．
設(shè)出徒弟加工1個零件是精品的概率，由相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率得到關(guān)于概率的方程，解方程即可．
（II）寫出兩個人加工零件對應(yīng)的是精品的概率，寫出分布列，徒弟加工該零件的精品數(shù)多于師父包括三種情況，這三種情況是互斥的，根據(jù)相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率和互斥事件的概率得到結(jié)果．
（Ⅲ）由題意知師徒二人加工出的4個零件中精品個數(shù)為ξ，則ξ的可能取值是為0，1，2，3，4，對應(yīng)于變量的事件做出概率，其中比較麻煩的是ξ=2時，它包含三種情況，寫出分布列和期望．

解答：解：（Ⅰ）師徒二人各加工相同型號的零件2個，是否加工出精品均互不影響．
師父加工一個零件是精品的概率為

2

3

，師徒二人各加工2個零件都是精品的概率為

1

9

．
設(shè)徒弟加工1個零件是精品的概率為p₁
由相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率得到
∵

2

3

×

2

3

p

2 1

=

1

9

∴

p

2 1

=

1

4

，
∴徒弟加工2個零件都是精品的概率是

1

4

（Ⅱ）設(shè)徒弟加工零件的精品數(shù)多于師父的概率為p₂
由（Ⅰ）知，p1=

1

2

師父加工兩個零件中，精品個數(shù)的分布列如下：

徒弟加工兩個零件中，精品個數(shù)的分布列如下：

徒弟加工該零件的精品數(shù)多于師父包括三種情況，這三種情況是互斥的，
根據(jù)相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率和互斥事件的概率得到
∴p₂=

1

9

×

2

4

+

4

9

×

1

4

+

1

9

×

1

4

=

7

36

（Ⅲ）由題意知師徒二人加工出的4個零件中精品個數(shù)為ξ，則ξ的可能取值是為0，1，2，3，4，
P（ξ=0）=

1

4

×

1

9

=

1

36

，
P（ξ=1）=

1

9

×

2

4

+

1

4

×

4

9

=

6

36

P（ξ=2）=

1

9

×

1

4

+

4

9

×

1

4

+

4

9

×

2

4

P（ξ=3）=

4

9

×

1

4

+

4

9

×

2

4

=

12

36

P（ξ=4）=

4

9

×

1

4

=

4

36

∴ξ的分布列是

∴ξ的期望為0×

1

36

+1×

6

36

+2×

13

36

+3×

12

36

+4×

4

36

=

7

3

點(diǎn)評：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，考查相互獨(dú)立事件的概率，考查互斥事件的概率，是一個綜合題，解題時注意讀懂題意，避免出錯．