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設函數f(x)＝ax＋ (a，b∈Z)，曲線y＝f(x)在點(2，f(2))處的切線方

 

程為y＝3.

(1)求f(x)的解析式；

(2)證明：曲線y＝f(x)上任一點的切線與直線x＝1和直線y＝x所圍三角形的面積為定值，

并求出此定值．

 

【答案】

(1)解　f′(x)＝a－，

 

解得或

 

 

因為a，b∈Z，故f(x)＝x＋.

 

(2)證明　在曲線上任取一點，由f′(x0)＝1－知，過此點的切線

 

方程為y－＝[1－] (x－x0)．

 

令x＝1，得y＝，   切線與直線x＝1的交點為 (1, )；

 

 

令y＝x，得y＝2x0－1，切線與直線y＝x的交點為(2x0－1,2x0－1)；

直線x＝1與直線y＝x的交點為(1,1)，從而所圍三角形的面積為

|2x0－1－1|＝2.

 

所以，所圍三角形的面積為定值2.

 

【解析】略

 

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          （Ⅰ）若函數 g(x) 的圖象在點 (0,0) 處的切線也恰為 f (x) 圖象的一條切線，求實數    a的值；

          （Ⅱ）是否存在實數a，對任意的 x∈(0,e]，都有唯一的 x0∈[e－4,e]，使得 f (x0)＝g(x) 成立．若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請說明理由．

 

注：e是自然對數的底數．

 

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