Question

6．偶函數(shù)y=f（x）滿足下列條件①x≥0時，f（x）=x；對任意x∈[t，t+1]，不等式f（x+t）≥2f（x）恒成立，則實數(shù)t的取值范圍是（　　）

• A． $[-2，\frac{3}{4}]$
• B． $（-∞，-\frac{3}{4}]$
• C． $[-\frac{3}{4}，0]$
• D． $[-\frac{4}{3}，1]$

Answer 1

分析 根據(jù)f（x）為偶函數(shù)便可得到f（|x+t|）≥2f（|x|），從而得到|x+t|≥2|x|，兩邊平方便有（x+t）²≥4x²，經(jīng)整理便可得到3x²-2tx-t²≤0在[t，t+1]上恒成立，這樣只需3（t+1）²-2t（t+1）-t²≤0，解該不等式即可得出實數(shù)t的取值范圍．

解答 解：根據(jù)條件得：f（|x+t|）≥2f（|x|）；
∴|x+t|≥2|x|；
∴（x+t）²≥4x²；
整理得，3x²-2tx-t²≤0在[t，t+1]上恒成立；
設g（x）=3x²-2tx-t²，g（t）=0；
∴g（t+1）=3（t+1）²-2t（t+1）-t²≤0；
解得t≤-$\frac{3}{4}$；
故選：B．

點評 考查偶函數(shù)的定義，y=x的單調(diào)性，不等式的性質(zhì)，并需熟悉二次函數(shù)的圖象．