Question

已知函數(shù)f（x）=x²lnx-ax³-x²+x，若?λ∈R使λf（x）-xf（λ）≤0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（　�。�

• A、（0，

  1

  e2

  ）
• B、（0，

  1

  e2

  ]
• C、（0，

  1

  2e

  ）
• D、（0，

  1

  2e

  ]

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問(wèn)題

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：求函數(shù)的定義域，將不等式進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，構(gòu)造函數(shù)g（x）=

f(x)

x

，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求函數(shù)的最值即可得到結(jié)論．

解答： 解：函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞），
若?λ∈R使λf（x）-xf（λ）≤0恒成立，
則λ＞0，
則不等式等價(jià)為?λ∈R使

f(x)

x

≤

f(λ)

λ

恒成立，
設(shè)g（x）=

f(x)

x

=xlnx-ax²-x+1，
則函數(shù)的導(dǎo)數(shù)g′（x）=lnx-2ax，
由g′（x）=lnx-2ax=0得a=

lnx

2x

，
∵當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)g（x）無(wú)極大值，∴只有當(dāng)a＞0是成立，
設(shè)y=

lnx

2x

，則y′=

1-lnx

2

，則當(dāng)x=e時(shí)，函數(shù)y=

lnx

2x

取得最大值為y=

lne

2e

=

1

2e

，
則等價(jià)為a∈（0，

1

2e

]，
故選：D

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查不等式恒成立問(wèn)題，將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)．