Question

已知函數(shù)y=

3

sinx+cosx，x∈R．
（1）求最小正周期；
（2）求函數(shù)的單調(diào)遞增與遞減區(qū)間；
（3）求函數(shù)的最大值、最小值，及函數(shù)取得最大、最小值時(shí)自變量x的集合；
（4）求函數(shù)的對(duì)稱中心及對(duì)稱軸；
（5）該函數(shù)的圖象可由y=sinx（x∈R）的圖象經(jīng)過(guò)怎樣的平移和伸縮變換得到？

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換,三角函數(shù)的周期性及其求法,由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式,三角函數(shù)的最值

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：利用輔助角公式將函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，即可得到結(jié)論．

解答： 解：y=

3

sinx+cosx=2sin（x+

π

6

），
（1）則函數(shù)的最小正周期T=

2π

1

=2π；
（2）由2kπ-

π

2

≤x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，得2kπ-

2π

3

≤x≤2kπ+

π

3

，k∈Z，
2kπ+

π

2

≤x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z，得2kπ+

π

3

≤x≤2kπ+

4π

3

，k∈Z，
即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為[2kπ-

2π

3

，2kπ+

π

3

]，遞減區(qū)間為[2kπ+

π

3

，2kπ+

4π

3

]，k∈Z；
（3）當(dāng)sin（x+

π

6

）=1，即x+

π

6

=2kπ+

π

2

，k∈Z，x=2kπ+

π

3

，k∈Z，時(shí)函數(shù)取得最大值2，
當(dāng)sin（x+

π

6

）=-1，即x+

π

6

=2kπ-

π

2

，k∈Z，x=2kπ-

2π

3

，k∈Z，時(shí)函數(shù)取得最小值-2，
則函數(shù)取得最大、最小值時(shí)自變量x的集合分別為{x|x=2kπ+

π

3

，k∈Z}和{x|x=2kπ-

2π

3

，k∈Z}；
（4）由x+

π

6

=kπ，k∈Z，x=kπ-

π

6

，即函數(shù)的對(duì)稱中心為（kπ-

π

6

，0），
由x+

π

6

=kπ+

π

2

，k∈Z，得x=kπ+

π

3

，即函數(shù)的對(duì)稱軸為x=kπ+

π

3

，k∈Z；
（5）函數(shù)的圖象可由y=sinx（x∈R）的圖象向左平移

π

6

個(gè)單位得到y(tǒng)=sin（x+

π

6

），
然后橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2被得到y(tǒng)=2sin（x+

π

6

）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，要求熟練掌握函數(shù)單調(diào)性，對(duì)稱性的性質(zhì)的求解和判斷，利用輔助角公式將函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)是解決本題的關(guān)鍵．