Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，PA=2，
∠PDA=45°，點E、F分別為棱AB、PD的中點．
（1）求證：AF∥平面PCE；
（2）求證：平面PCE⊥平面PCD；
（3）求AF與平面PCB所成的角的大小．

Answer 1

證明：（1）取PC的中點G，連接FG、EG，
∴FG為△CDP的中位線∴FGCD
∵四邊形ABCD為矩形，E為AB的中點
∴ABCD∴FGAE∴四邊形AEGF是平行四邊形∴AF∥EG
又EG?平面PCE，AF?平面PCE∴AF∥平面PCE
（2）∵PA⊥底面ABCD
∴PA⊥AD，PA⊥CD，又AD⊥CD，PA∩AD=A
∴CD⊥平面ADP，又AF?平面ADP∴CD⊥AF
直角三角形PAD中，∠PDA=45°
∴△PAD為等腰直角三角形∴PA=AD=2
∵F是PD的中點，∴AF⊥PD，又CD∩PD=D
∴AF⊥平面PCD∵AF∥EG∴EG⊥平面PCD
又EG?平面PCE 平面PCE⊥平面PCD
解：（3）過E作EQ⊥PB于Q點，連QG，CB⊥面PAB
∴?QE⊥面PCB，則∠QGE為所求的角．
S_△PEB=BE•PA=PB•EQ?EQ=
在△PEC中，PE=EC=，G為PC的中點，∴EG=，
在Rt△EGQ中，sin∠EGQ=
∴∠EGQ=30°
分析：（1）取PC的中點G，連接FG、EG，證出AF∥EG，由線面平行的判定定理，即可證出：AF∥平面PCE．
（2）先證出AF⊥平面PCD，再由（1），可證EG⊥平面PCD，由面面垂直的判定定理即可證出平面PCE⊥平面PCD；
（3）過E作EQ⊥PB于Q點，連QG，則∠QGE為所求的角，解Rt△EGQ即可．
點評：本題考查線面位置關系，面面位置關系的判定，空間角的求解．考查空間想象能力，轉化思想，計算能力．