Question

20．函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$ax³+$\frac{1}{2}$ax²-2ax+2a+1的圖象經(jīng)過四個象限的一個充分但不必要條件是（　�。�

• A． -$\frac{4}{3}$＜a＜-$\frac{1}{3}$
• B． -1＜a＜-$\frac{1}{2}$
• C． -$\frac{6}{5}$＜a＜-$\frac{3}{16}$
• D． -2＜a＜0

Answer 1

分析 據(jù)選擇項只要判斷當(dāng)a＜0時的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，研究函數(shù)的極值，結(jié)合函數(shù)的圖象特點進行求解即可．

解答 解：根據(jù)選擇項只要判斷當(dāng)a＜0時，即可，
函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=ax²+ax-2a=a（x-1）（x+2）．
若a＜0，當(dāng)x＜-2或x＞1，f′（x）＜0，
當(dāng)-2＜x＜1，f′（x）＞0，
即當(dāng)x=-2時，函數(shù)取得極小值，當(dāng)x=1時函數(shù)取得極大值，
要使函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$ax³+$\frac{1}{2}$ax²-2ax+2a+1的圖象經(jīng)過四個象限，
則有f（-2）＜0，且f（1）＞0，
∴-$\frac{6}{5}$＜a＜-$\frac{3}{16}$，
即函數(shù)的圖象經(jīng)過四個象限的充要條件為-$\frac{6}{5}$＜a＜-$\frac{3}{16}$，
則對應(yīng)的充分但不必要條件為（-$\frac{6}{5}$，-$\frac{3}{16}$）的真子集，
則-1＜a＜-$\frac{1}{2}$滿足條件，
故選：B．

點評 本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，結(jié)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，研究函數(shù)的極值是解決本題的關(guān)鍵．