Question

已知M是正四面體ABCD棱AB的中點(diǎn)，N是棱CD上異于端點(diǎn)C，D的任一點(diǎn)，則下列結(jié)論中，正確的個(gè)數(shù)有（　�。�
（1）MN⊥AB；               （2）若N為中點(diǎn)，則MN與AD所成角為45°；
（3）平面CDM⊥平面ABN；      （4）存在點(diǎn)N，使得過(guò)MN的平面與AC垂直．

A．1個(gè)

B．2個(gè)

C．3個(gè)

D．4個(gè)

Answer 1

分析：連接CM、DM，可證明出AB⊥平面CDM，從而MN⊥AB，得（1）正確；取AC中點(diǎn)E，連接EM、EN，利用三角形中位線定理證明出EN、NM所成的直角或銳角，就是異面直線MN、AD所成的角，再通過(guò)余弦定理，可以求出MN與AD所成角為45°，故（2）正確；根據(jù)（1）的正確結(jié)論：MN⊥AB，結(jié)合平面與平面垂直的判定定理，得到（3）正確；對(duì)于（4），若存在點(diǎn)N，使得過(guò)MN的平面與AC垂直，說(shuō)明存在N的一個(gè)位置，使MN⊥AC．因此證明出“不論N在線段CD上的何處，都不可能有MN⊥AC”，從而說(shuō)明不存在點(diǎn)N，使得過(guò)MN的平面與AC垂直．

解答：解：（1）連接CM、DM
∵正△ABC中，M為AB的中點(diǎn)
∴CM⊥AB
同理DM⊥AB，結(jié)合MC∩MD=M
∴AB⊥平面CDM，而MN⊆平面CDM
∴MN⊥AB，故（1）是正確的；
（2）取AC中點(diǎn)E，連接EM、EN
∵△ADC中，E、N分別是AC、CD的中點(diǎn)
∴EN∥AD，EN=

1

2

AD．
∴EN、NM所成的直角或銳角，就是異面直線MN、AD所成的角
設(shè)正四面體棱長(zhǎng)為2a，在△MCD中，CM=DM=

3

2

×2a=

3

a
則Rt△MNC中CN=

1

2

×2a=a
∴MN=

CM2-CN2

=

2

a
在△MNE中，ME=EN=

1

2

×2a=a
∴cos∠ENM=

EN2+MN2-EM2

2×EN×MN

=

2

2

∴∠ENM=45°，即異面直線MN、AD所成的角是45°，故（2）正確；
（3）由（1）的證明知：AB⊥平面CDM
∵AB?平面ABN
∴平面ABN⊥平面CDM，故（3）正確；
（4）若有MN⊥AC，根據(jù)（1）的結(jié)論MN⊥AB，
因?yàn)锳B、AC相交于A點(diǎn)，所以MN⊥平面ABC
∵△MCD中，CM=MD=

3

a，CD=2a
∴cos∠CMD=

CM2+MD2-CD2

2•CM•MD

=

1

3

＞0
可得∠CMD是銳角，說(shuō)明點(diǎn)N在線段CD上從C到D運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，
∠CMN的最大值是銳角，不可能是直角，
因?yàn)镃M?平面ABC，CM與NM不能垂直，
以上結(jié)論與MN⊥平面ABC矛盾，
故不論N在線段CD上的何處，都不可能有MN⊥AC．
因此不存在點(diǎn)N，使得過(guò)MN的平面與AC垂直．
綜上所述，正確的命題為（1）（2）（3）
故選C

點(diǎn)評(píng)：本題以正四面體為例，著重考查了直線與平面垂直的判定、平面與平面垂直的判定和異面直線及其所成的角等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．