已知α∈R，函數(shù)f（x）=
1
12
x3+
a+1
2
x2+(5a+1)x，若y=f′（x）是偶函數(shù)，求f（x）在[0，6]上的最大值和最小值．
分析：求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)是偶函數(shù)求出a的值，然后利用導(dǎo)數(shù)求f（x）在[0，6]上的最大值和最小值．
解答：解：∵f（x）=
1
12
x3+
a+1
2
x2+(5a+1)x，
∴f′（x）=
1
4
x2+(a+1)x+(5a+1)，
由f′（x）是偶函數(shù)得，a+1=0，解得：a=-1．
∴f′（x）=
1
4
x2-4=
1
4
(x-4)(x+4)．
∴當(dāng)x∈[0，6]，f（x）與f′（x）關(guān)系如下表：
x [0，4] 4 [4，6]
f′（x） - 0 +
f（x） ↓ 極小 ↑
∴當(dāng)x=4時(shí)，f（x）取最小值f（4）=
1
12
×43+4×（-4）=
16
3
-16=-
32
3
．
∵f（0）=0，f（6）=
1
12
×63+6×（-4）=18-24=-6＜0，
∴x=0時(shí)，f（x）取最大值為0．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，考查了函數(shù)的奇偶性，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，是中高檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知二次函數(shù)f（x）的圖象過點(diǎn)（0，4），對(duì)任意x滿足f（3-x）=f（x），且有最小值是
74
．g（x）=2x+m．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ） 求函數(shù)h（x）=f（x）-（2t-3）x在區(qū)間[0，1]上的最小值，其中t∈R；
（Ⅲ）設(shè)f（x）與g（x）是定義在同一區(qū)間[p，q]上的兩個(gè)函數(shù)，若函數(shù)F（x）=f（x）-g（x）在x∈[p，q]上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則稱f（x）和g（x）在[p，q]上是“關(guān)聯(lián)函數(shù)”，區(qū)間[p，q]稱為“關(guān)聯(lián)區(qū)間”．若f（x）與g（x）在[0，3]上是“關(guān)聯(lián)函數(shù)”，求m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R）滿足下列條件：
①當(dāng)x∈R時(shí)，函數(shù)的最小值為0，且f（-1+x）=f（-1-x）成立；
②當(dāng)x∈（0，5）時(shí)，都有x≤f（x）≤2|x-1|+1恒成立．求：
（1）f（1）的值；
（2）函數(shù)f（x）的解析式；
（3）求最大的實(shí)數(shù)m（m＞1），使得存在t∈R，只要當(dāng)x∈[1，m]時(shí)，就有f（x+t）≤x成立．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：設(shè)計(jì)必修四數(shù)學(xué)人教A版 人教A版 題型：013

已知α∈R，函數(shù)f(x)＝sinx－|a|，x∈R為奇函數(shù)，則a的值為

[　　]

A．0

B．1

C．－1

D．±1

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：廣東省佛岡一中2008屆高三數(shù)學(xué)期初摸底測(cè)試卷(理) 題型：044

已知R，函數(shù)f(x)＝(－x2＋ax)ex(x∈R，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))．

(Ⅰ)當(dāng)a＝2時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(Ⅱ)若函數(shù)f(x)在(－1，1)上單調(diào)遞增，求a的取值范圍；

(Ⅲ)函數(shù)f(x)是否為R上的單調(diào)函數(shù)，若是，求出a的取值范圍；若不是，請(qǐng)說明理由．

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