Question

某中學(xué)設(shè)計(jì)一項(xiàng)綜合學(xué)科的考查方案：考生從6道備選題中一次性隨機(jī)抽取三道題，按照題目要求獨(dú)立完成全部實(shí)驗(yàn)操作，已知在6道備選題中，考生甲有4道題能正確完成，兩道題不能正確完成；考生乙每道題正確完成的概率都是

2

3

，且每道題正確完成與否互不影響．
（1）分別寫出甲、乙兩考生正確完成題數(shù)的概率分布列；
（2）分別求甲、乙兩考生正確完成題數(shù)的數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,離散型隨機(jī)變量及其分布列

專題：計(jì)算題

分析：（1）設(shè)考生甲、乙正確完成題數(shù)分別為ξ，η，則ξ取值分別為1，2，3；η取值分別為0，1，2，3．
再求出ξ，η取每個值時的概率，即得他們的分布列．
（2）根據(jù)他們的分布列，代入數(shù)學(xué)期望的公式，分別求它們的數(shù)學(xué)期望．

解答： 解析：（1）設(shè)考生甲、乙正確完成題數(shù)分別為ξ，η，則ξ取值分別為1，2，3；η取值分別為0，1，2，3．
則 P=（ξ=1）=

C 1 4 C 2 2

C 3 6

=

1

5

，P=（ξ=2）=

C 2 4 C 1 2

C 3 6

=

3

5

，P=（ξ=3）=

C 3 4 C 0 2

C 3 6

=

1

5

，
∴考生甲正確完成題數(shù)的概率分布列為

P（η=0）=C₃⁰(1

2

3

)3=

1

27

，P（η=1）=C₃¹(1

2

3

)2(

2

3

)1=

2

9

，
P（η=2）=C₃²(1

2

3

)1(

2

3

)2=

4

9

，P（η=3）=C₃³(1

2

3

)0(

2

3

)3=

8

27

，
∴考生乙正確完成題數(shù)的概率分布列為

（2）Eξ=1×

1

5

+2×

3

5

+3×

1

5

=2； Eη=0×

1

27

+1×

2

9

+2×

4

9

+3×

8

27

=2．
另解：實(shí)際上η服從二項(xiàng)分布B（3，

2

3

），∴Eη=3×

2

3

=2．（12分）

點(diǎn)評：本題考查求離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望的方法，關(guān)鍵是找出隨機(jī)變量的取值范圍，以及取每個值時對應(yīng)的概率．