【題目】已知頂點為原點O的拋物線C1的焦點F與橢圓C2： =1（a＞b＞0）的右焦點重合，C1與C2在第一和第四象限的交點分別為A、B．
（1）若△AOB是邊長為2 的正三角形，求拋物線C1的方程；
（2）若AF⊥OF，求橢圓C2的離心率e；
（3）點P為橢圓C2上的任一點，若直線AP、BP分別與x軸交于點M（m，0）和N（n，0），證明：mn=a2 ．

【答案】
（1）解：設(shè)橢圓的右焦點為F（c，0），依題意得拋物線的方程為y2=4cx

∵△AOB是邊長為2 的正三角形，

∴點A的坐標(biāo)是 ，

代入拋物線的方程y2=4cx解得 ，

故所求拋物線C1的方程為y2=x


（2）解：∵AF⊥OF，∴點A的橫坐標(biāo)是c

代入橢圓方程解得 ，即點A的坐標(biāo)是

∵點A在拋物線y2=4cx上，

∴ ，

將b2=a2﹣c2代入上式整理得： ，

即e2+2e﹣1=0，解得

∵0＜e＜1，故所求橢圓C2的離心率


（3）證明：設(shè)P（x1，y1），A（x2，y2），B（x2，﹣y2），

代入橢圓方程得

而直線PA的方程為（x2﹣x1）（y﹣y1）+（x﹣x1）（y1﹣y2）=0

令y=0得

在 中，以﹣y2代換y2得

∴ =


【解析】（1）確定點A的坐標(biāo)是 ，代入拋物線的方程y2=4cx，求出c，即可求得拋物線C1的方程；（2）若AF⊥OF，可求A的坐標(biāo)，代入拋物線的方程y2=4cx，結(jié)合b2=a2﹣c2 ， 即可求橢圓C2的離心率e；（3）利用直線PA、PB的方程，令y=0得m，n的值，即可證明結(jié)論．

練習(xí)冊系列答案
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【題目】已知函數(shù) 與 的圖像上存在關(guān)于軸對稱的點，則的取值范圍是________。

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【題目】定義：如果函數(shù)y=f（x）在定義域內(nèi)給定區(qū)間[a，b]上存在x0（a＜x0＜b），滿足f（x0）= ，則稱函數(shù)y=f（x）是[a，b]上的“平均值函數(shù)”，x0而是它的一個均值點． 例如y=|x|是[﹣2，2]上的“平均值函數(shù)”，0就是它的均值點．給出以下命題：
①函數(shù)f（x）=sinx﹣1是[﹣π，π]上的“平均值函數(shù)”；
②若y=f（x）是[a，b]上的“平均值函數(shù)”，則它的均值點x0≤ ；
③若函數(shù)f（x）=x2+mx﹣1是[﹣1，1]上的“平均值函數(shù)”，則實數(shù)m∈（﹣2，0）；
④若f（x）=lnx是區(qū)間[a，b]（b＞a≥1）上的“平均值函數(shù)”，x0是它的一個均值點，則lnx0＜ ．
其中的真命題有（寫出所有真命題的序號）．

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【題目】要得到函數(shù)y= cosx的圖象，只需將函數(shù)y= sin（2x+ ）的圖象上所有的點的（ ）
A.橫坐標(biāo)縮短到原來的 倍（縱坐標(biāo)不變），再向左平行移動 個單位長度
B.橫坐標(biāo)縮短到原來的 倍（縱坐標(biāo)不變），再向右平行移動 個單位長度
C.橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），再向左平行移動 個單位長度
D.橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），再向右平行移動 個單位長度

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【題目】已知圓的圓心在軸上，點是圓的上任一點，且當(dāng)點的坐標(biāo)為時，到直線距離最大.

（1）求直線被圓截得的弦長；

（2）已知，經(jīng)過原點，且斜率為的直線與圓交于，兩點.

（Ⅰ）求證：為定值；

（Ⅱ）若，求直線的方程.

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【題目】已知函數(shù)滿足，且在上為增函數(shù)，，則不等式的解集為__________．

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【題目】在二項式 的展開式中，前三項的系數(shù)成等差數(shù)列，把展開式中所有的項重新排成一列，則有理項都不相鄰的概率為（ ）
A.
B.
C.
D.

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【題目】已知橢圓C： + =1（a＞b＞0）的離心率為 ，以原點為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線 x﹣ y+12=0相切．
（1）求橢圓C的方程，
（2）設(shè)A（﹣4，0），過點R（3，0）作與x軸不重合的直線L交橢圓C于P，Q兩點，連接AP，AQ分別交直線x= 于M，N兩點，若直線MR、NR的斜率分別為k1 ， k2 ， 試問：k1 k2是否為定值？若是，求出該定值，若不是，請說明理由．

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