Question

如圖所示，在邊長(zhǎng)為的正方形中，點(diǎn)在線段上，且，，作//，分別交，于點(diǎn)，，作//，分別交，于點(diǎn)，，將該正方形沿，折疊，使得與重合，構(gòu)成如圖所示的三棱柱．

（1）求證：平面；

（2）若點(diǎn)E為四邊形BCQP內(nèi)一動(dòng)點(diǎn),且二面角E-AP-Q的余弦值為,求|BE|的最小值.

 

 

Answer 1

（1）參考解析;（2）

【解析】

試題分析：（1）依題意可得.即翻折后的.所以由.可得.又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719383411904782/SYS201411171938527447323975_DA/SYS201411171938527447323975_DA.006.png">,所以可得：平面.

（2）依題意建立空間直角坐標(biāo)系,由平面APQ寫(xiě)出其法向量.假設(shè)點(diǎn)E(m,n,0),根據(jù)平面APE寫(xiě)出其法向量.再由二面角E-AP-Q的余弦值為,可得到關(guān)于m,n的方程m+2n-6=0.再由點(diǎn)B到直線的距離公式即可得到結(jié)論.

（1）在正方形中，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719383411904782/SYS201411171938527447323975_DA/SYS201411171938527447323975_DA.011.png">，

所以三棱柱的底面三角形的邊．

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719383411904782/SYS201411171938527447323975_DA/SYS201411171938527447323975_DA.015.png">，，所以，所以．

因?yàn)樗倪呅?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719383411904782/SYS201411171938527447323975_DA/SYS201411171938527447323975_DA.019.png">為正方形，，所以，而，

所以平面．----------- 4分

（2）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719383411904782/SYS201411171938527447323975_DA/SYS201411171938527447323975_DA.025.png">,,兩兩互相垂直．以為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，，

所以，，

設(shè)平面的一個(gè)法向量為．

則由，即令，

則．所以．

設(shè)點(diǎn)E(m,n,0),

.由得:m+2n-6=0

所以|BE|的最小值為點(diǎn)B到線段: m+2n-6=0 的距離------- 13分

考點(diǎn)：1.直線與平面的位置關(guān)系.2.二面角.3.空間直角坐標(biāo)系的建立.4.點(diǎn)到直線的距離.