Question

已知函數(shù)f（x）=a•4^x-2^x+1+a+3．
（1）若a=0，解方程f（2x）=-5；
（2）若a=1，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）若存在實數(shù)x∈[-1，1]，使f（x）=4，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）將a=0代入，可得指數(shù)方程，求解即可；
（2）a=1代入，再利用單調(diào)性的定義，注意分類討論，從而確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（3）設(shè)2^x=t，由x∈[-1，1]，得，且f（x）=a•4^x-2^x+1+a+3=a•t²-2t+a+3，所以存在，使得a•t²-2t+a+3=4，即a•t²-2t+a-1=0，構(gòu)建函數(shù)，用函數(shù)的思想解決方程根的問題．
解答：解：（1）若a=0，由f（2x）=-5，即-2^2x+1+3=-5，
∴2^2x+1=8，∴2^2x+1=2³，
∴2x+1=3
∴x=1（2分）
（2）若a=1，則f（x）=4^x-2^x+1+4，設(shè)x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
f（x₂）-f（x₁）===
∵
①當(dāng)x₁，x₂∈[0，+∞）時，有，
∴，
∴f（x₂）＞f（x₁），
∴f（x）在[0，+∞）上是增函數(shù)；
②當(dāng)x₁，x₂∈（-∞，0]時，有，
∴，
∴f（x₂）＜f（x₁），
∴f（x）在（-∞，0]上是減函數(shù)
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間是[0，+∞），單調(diào)減區(qū)間是（-∞，0]（7分）
（3）設(shè)2^x=t，由x∈[-1，1]，得，且f（x）=a•4^x-2^x+1+a+3=a•t²-2t+a+3
∴存在，使得a•t²-2t+a+3=4，即a•t²-2t+a-1=0
令g（t）=a•t²-2t+a-1，
若a=0，由f（x）=4，無解．
若a≠0，則函數(shù)g（t）的對稱軸是
由已知得方程g（t）=0在上有實數(shù)解
∴或
∴或
∴或
∴實數(shù)a的取值范圍為．
點評：本題以指數(shù)函數(shù)為載體，考查指數(shù)方程，考查函數(shù)的單調(diào)性，同時考查存在性問題，解題時應(yīng)注意正確分類．