Question

已知數(shù)列{a_n}是以公比為q的等比數(shù)列，S_n（n∈N^*）是其前n項和，且S₃，S₉，S₆成等差數(shù)列．
（1）求證：a₂，a₈，a₅也成等差數(shù)列；
（2）判斷以a₂，a₈，a₅為前三項的等差數(shù)列的第四項是否也是數(shù)列{a_n}中的項？若是，求出這一項；若不是，請說明理由．

Answer 1

考點：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：首先將給出的項、和都用等比數(shù)列的首項、公比表示出來，然后進行化簡，然后利用等差數(shù)列的定義構(gòu)造等量關(guān)系和證明要證的結(jié)論；第二問是一個探究性問題，一般先假設(shè)結(jié)論成立，然后以此為條件結(jié)合已知條件進行推導，若推導出結(jié)果成立則結(jié)論成立，若推出矛盾，則結(jié)論不成立．

解答： 解：（Ⅰ）證明：當q=1時，S₃=3a₁，S₉=9a₁，S₆=6a₁，而a₁≠0，
∴S₃，S₉，S₆不可能是等差數(shù)列，故q≠1．
當q≠1時，∵S₃，S₉，S₆成等差數(shù)列，
∴2S₉=S₃+S₆，又Sn=

a1(1-qn)

1-q

，
∴2

a1(1-q9)

1-q

=

a1(1-q3)

1-q

+

a1(1-q6)

1-q

，
化簡得2q⁷=q+q⁴，所以2a1q7=a1q+a1q4，
∴2a₈=a₂+a₅，故a₂、a₈、a₅成等差數(shù)列．
（Ⅱ）由2q⁶=1+q³得q³=1（舍）或q³=-

1

2

，
要使以a₂，a₈，a₅為前三項的等差數(shù)列的第四項是數(shù)列{a_n}中的項且為第k項，
則必有a_k-a₅=a₅-a₈，即2a₅=a₈+a_k，
兩邊同除以a₂，得2q³=q^k-2+q⁶，
將q³=-

1

2

代入，解得q^k-2=-

5

4

，
又∵（q³）^k-2=（-

1

2

）^k-2，即（q^k-2）³=（-

1

2

）^k-2，
∴(-

1

2

)k-2=(-

5

4

)3，
由于k是正整數(shù)，所以(-

1

2

)k-2=(-

5

4

)3不可能成立，
∴以a₂，a₈，a₅為前三項的等差數(shù)列的第四項不可能是數(shù)列{a_n}中的項．

點評：對于等差、等比數(shù)列問題，一般是用基本量首項、公差（比）借助通項公式、求和公式把已知條件和結(jié)論表示出來，然后進行化簡，再尋找條件與結(jié)論之間的關(guān)系進行推理、證明與計算，要注意定義、性質(zhì)的應(yīng)用；探究性問題一般是先假設(shè)結(jié)論成立，構(gòu)造方程或不等式，只要是有符合的解，則結(jié)論成立，否則不成立．