Question

21.設(shè)F₁、F₂分別為橢圓C：＝1（a＞b＞0）的左、右兩個焦點.

（1）若橢圓C上的點A（1，）到F₁、F₂兩點的距離之和等于4，寫出橢圓C的方程和焦點坐標；

（2）設(shè)點K是（1）中所得橢圓上的動點，求線段F₁K的中點的軌跡方程；

（3）已知橢圓具有性質(zhì)：若M、N是橢圓C上關(guān)于原點對稱的兩個點，點P是橢圓上任意一點，當直線PM、PN的斜率都存在，并記為k_PM、k_PN時，那么k_PM與k_PN之積是與點P位置無關(guān)的定值，試對雙曲線＝1寫出具有類似特性的性質(zhì)，并加以證明.

Answer 1

21.

解：(1)橢圓C的焦點在x軸上.

由橢圓上的點A到F₁、F₂兩點的距離之和是4，得2a＝4，即a＝2.

 

又點A(1，)在橢圓上，因此＝1得b²＝3，于是c²＝a²－b²＝1.

 

所以橢圓C的方程為＝1，焦點F₁(－1，0)，F₂(1，0).  

 

(2)設(shè)橢圓C上的動點為K(x₁，y₁)，線段F₁K的中點Q(x，y)滿足：

x＝

∴x₁＝2x+1，y₁＝2y，                                                                

因此，

即(x+)²+＝1為所求的軌跡方程.                                     

(3)類似的性質(zhì)為：若M、N是雙曲線：＝1上關(guān)于原點對稱的兩個點，點P是雙曲線上任意一點，當直線PM、PN的斜率都存在，并記為k_PM、k_PN時，那么k_PM與k_PN之積是與點P位置無關(guān)的定值.

設(shè)點M的坐標為(m，n)，則點N的坐標為(－m，－n)，其中＝1.

又設(shè)點P的坐標為(x，y).

 

由k_PM＝，k_PN＝，

 

得k_PM·k_PN＝·，

 

將y²＝－b²，n²＝m²－b²代入得k_PM·k_PN＝.