Question

已知函數(shù)f（x）=m•2^x+2•3^x，m∈R．
（1）當(dāng)m=-9時(shí)，求滿足f（x+1）＞f（x）的實(shí)數(shù)x的范圍；
（2）若f(x)≤(

9

2

)x對任意的x∈R恒成立，求實(shí)數(shù)m的范圍；
（3）若存在m使f（x）≤a^x對任意的x∈R恒成立，其中a為大于1的正整數(shù)，求a的最小值．

Answer 1

分析：（1）將m=-9代入解析式，然后化簡不等式f（x+1）＞f（x），最后利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可求出所求；
（2）將m參變量分離，然后利用換元法轉(zhuǎn)化成求二次函數(shù)的最值，從而可求出m的取值范圍；
（3）由（2）知，存在m∈（-∞，-1]使f（x）≤（

9

2

）^x對任意的x∈R恒成立，取x=1時(shí)也應(yīng)該成立，從而可求出a的最小值整數(shù)解．

解答：解：（1）當(dāng)m=-9時(shí)，f（x）=-9•2^x+2•3^x，
∵f（x+1）＞f（x）
∴-9•2^x+1+2•3^x+1＞-9•2^x+2•3^x，
即4•3^x＞9•2^x，即(

3

2

)x＞(

3

2

)2
∴x＞2；
（2）∵f(x)≤(

9

2

)x對任意的x∈R恒成立，
∴m•2^x+2•3^x≤(

9

2

)x對任意的x∈R恒成立，
不等式兩邊同時(shí)除以2^x得(

9

4

)x≥2×(

3

2

)x+m
令t=(

3

2

)x＞0，則t²-2t-m≥0即m≤t²-2t=（t-1）²-1對于任意正實(shí)數(shù)t恒成立
∴m≤-1；     
（3）由（2）知，存在m∈（-∞，-1]使f（x）≤（

9

2

）^x對任意的x∈R恒成立，
取x=1代入f（x）得m×2¹+2×3¹≤a¹，化簡：a≥6+2m≥4
所以a的最小整數(shù)值為4．

點(diǎn)評：本題主要考查了函數(shù)恒成立問題，以及指數(shù)函數(shù)的綜合應(yīng)用，同時(shí)考查了轉(zhuǎn)化的思想和運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題．