【題目】數(shù)列,定義為數(shù)列的一階差分數(shù)列,其中

1)若,試判斷是否是等差數(shù)列,并說明理由;

2)若,,求數(shù)列的通項公式;

3)對(2)中的數(shù)列,是否存在等差數(shù)列,使得對一切都成立,若存在,求出數(shù)列的通項公式;若不存在,請說明理由.

【答案】1是等差數(shù)列,理由見解析 (2 3)存在,

【解析】

1)求出的通項公式,即可得出結(jié)論;

2代入,可得出數(shù)列的遞推公式,求出,猜測,用數(shù)學(xué)歸納法證明;

3)先求出,求出的通項公式,然后證明是否滿足條件.

解:(1

.

所以是等差數(shù)列.

2)∵,

,

,∴,,

猜測:.

證明:(數(shù)學(xué)歸納法)

成立,

假設(shè)成立,即,

那么時,

,

時也成立,

綜合ⅠⅡ對任意,都成立.

3時,,

時,,

若存在等差數(shù)列,使得對一切都成立,

只能.

下證符合要求

.

得證.

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