Question

已知數(shù)列{a_n}滿足：an=

a n 2 + 1 4 ，n為偶數(shù) 2a n+1 2 -a+ 1 2 ，n為奇數(shù)

（n∈N^*，a∈R，a為常數(shù)），
數(shù)列{b_n}中，bn=a22n-1．
（1）求a₁，a₂，a₃；
（2）證明：數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列；
（3）求證：數(shù)列{b_n}中存在三項(xiàng)構(gòu)成等比數(shù)列時(shí)，a為有理數(shù)．

Answer 1

分析：（1）由已知a1=2a1-a+

1

2

，得a1=a-

1

2

，a2=a1+

1

4

=a-

1

4

，a3=2a2-a+

1

2

=a．
（2）bn=a22n-1=2a22n-1-a+

1

2

，由此能推導(dǎo)出b_n+1-b_n=1，又b₁=a₃=a，所以數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列．
（3）由b_n=a+n-1，知若三個(gè)不同的項(xiàng)a+i，a+j，a+k成等比數(shù)列，i、j、k為非負(fù)整數(shù)，且i＜j＜k，則（a+i）²=（a+j）
（a+k），得a（i+k-2j）=j²-ik，由此討論知a是有理數(shù)．

解答：解：（1）由已知a1=2a1-a+

1

2

，得a1=a-

1

2

，a2=a1+

1

4

=a-

1

4

，a3=2a2-a+

1

2

=a．（4分）
（2）bn=a22n-1=2a22n-1-a+

1

2

，bn+1=a22n+2-1=2a22n+1-a+

1

2

=2(a22n+

1

4

)-a+

1

2

=2a22n-a+1=2(a22n-1+

1

4

)-a+1=2a22n-1-a+

3

2

∴b_n+1-b_n=1，又b₁=a₃=a，
∴數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)為a，公差為1的等差數(shù)列．（9分）

（3）證明：由（2）知b_n=a+n-1，（10分）
若三個(gè)不同的項(xiàng)a+i，a+j，a+k成等比數(shù)列，
i、j、k為非負(fù)整數(shù)，且i＜j＜k，則（a+j）²=（a+i）（a+k），
得a（i+k-2j）=j²-ik，（12分）
若i+k-2j=0，則j²-ik=0，得i=j=k，這與i＜j＜k矛盾．（14分）
若i+k-2j≠0，則a=

j2-ik

i+k-2j

，
∵i、j、k為非負(fù)整數(shù)，
∴a是有理數(shù)．（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和綜合應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意公式的合理運(yùn)用．