已知橢圓＝1(a＞b＞0)的離心率為，短軸的一個(gè)端點(diǎn)為M(0，1)，直線l：y＝kx－與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)A、B.

(1)若AB＝，求k的值；

(2)求證：不論k取何值，以AB為直徑的圓恒過點(diǎn)M.

 

（1）k＝±1.（2）見解析

【解析】(1)【解析】
由題意知＝，b＝1.由a2＝b2＋c2可得c＝b＝1，a＝，

∴橢圓的方程為＋y2＝1.由得(2k2＋1)x2－kx－＝0.

Δ＝k2－4(2k2＋1)×＝16k2＋＞0恒成立，

設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝，x1x2＝－.

∴AB＝·|x1－x2|＝，化簡得23k4－13k2－10＝0，即(k2－1)(23k2＋10)＝0，解得k＝±1.

(2)證明：∵＝(x1，y1－1)，＝(x2，y2－1)，

∴＝x1x2＋(y1－1)(y2－1)＝(1＋k2)x1x2－k(x1＋x2)＋＝－－＋＝0.∴不論k取何值，以AB為直徑的圓恒過點(diǎn)M.

 

練習(xí)冊系列答案
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圓x2＋y2－4x＝0在點(diǎn)P(1，)處的切線方程為________．

 

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若直線l經(jīng)過直線2x－y＋3＝0和3x－y＋2＝0的交點(diǎn)，且垂直于直線y＝2x－1，則直線l的方程為______________．

 

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已知橢圓＋y2＝1的左頂點(diǎn)為A，過A作兩條互相垂直的弦AM、AN交橢圓于M、N兩點(diǎn)．

(1)當(dāng)直線AM的斜率為1時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；

(2)當(dāng)直線AM的斜率變化時(shí)，直線MN是否過x軸上的一定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，請給出證明，并求出該定點(diǎn)；若不過定點(diǎn)，請說明理由．

 

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已知雙曲線x2－＝1的左頂點(diǎn)為A1，右焦點(diǎn)為F2，P為雙曲線右支上一點(diǎn)，則的最小值為________．

 

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如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C：(x＋1)2＋y2＝16，點(diǎn)F(1，0)，E是圓C上的一個(gè)動點(diǎn)，EF的垂直平分線PQ與CE交于點(diǎn)B，與EF交于點(diǎn)D.

(1)求點(diǎn)B的軌跡方程；

(2)當(dāng)點(diǎn)D位于y軸的正半軸上時(shí)，求直線PQ的方程；

(3)若G是圓C上的另一個(gè)動點(diǎn)，且滿足FG⊥FE，記線段EG的中點(diǎn)為M，試判斷線段OM的長度是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說明理由．

 

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(1)若直線PA平分線段MN，求k的值；

(2)當(dāng)k＝2時(shí)，求點(diǎn)P到直線AB的距離d；

(3)對任意k>0，求證：PA⊥PB..

 

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