Question

一個(gè)特殊模具容器橫斷面如圖所示：內(nèi)壁是拋物線y=

1

2

x2的一部分，外壁是等腰梯形ABEF的兩腰AF、BE及底AB圍成．已知EF=8厘米，AB=3厘米，點(diǎn)O到EF的距離是8厘米，BE所在直線與拋物線y=

1

2

x2相切于點(diǎn)E．
（Ⅰ）求切線BE的方程和容器的高h(yuǎn)；
（Ⅱ）求這個(gè)容器橫斷面的面積（陰影部分）

Answer 1

分析：（Ⅰ）欲求切線BE方程，只需求出切點(diǎn)E的坐標(biāo)和切線斜率，因?yàn)镋F=8厘米，所以可求E點(diǎn)的橫坐標(biāo)，代入拋物線方程就可求出E點(diǎn)的縱坐標(biāo)，再根據(jù)切線的斜率是曲線在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，通過求導(dǎo)，就可求出切線BE的斜率，得到BE的方程．
容器的高h(yuǎn)等于直線AB與直線EF之間的距離，也即點(diǎn)B與點(diǎn)F的縱坐標(biāo)之差的絕對(duì)值，由前面已知E點(diǎn)坐標(biāo)，因?yàn)锳B=3厘米，所以B點(diǎn)橫坐標(biāo)為

3

2

，又因?yàn)锽點(diǎn)在直線BE上，代入直線BE方程，就可得到B點(diǎn)縱坐標(biāo)，求出容器的高h(yuǎn)．
（Ⅱ）有圖知這個(gè)容器橫斷面的面積為梯形ABEF的面積，減去直線EF與拋物線y=

1

2

x2所圍曲邊梯形的面積，由（Ⅰ）可知梯形的上下底長(zhǎng)和高，易求面積，而曲邊梯形的面積即為函數(shù)y=8-

1

2

x2在區(qū)間[-4，4]的定積分，所以陰影面積可求．

解答：解：（Ⅰ）∵EF=8，且EF關(guān)于y軸對(duì)稱，∴點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為4，
又∵點(diǎn)E在拋物線y=

1

2

x2上，∴點(diǎn)E的縱坐標(biāo)是y_E=8即E（4，8）
函數(shù)y=

1

2

x2的導(dǎo)數(shù)為y′=x
∵直線BE與拋物線y=

1

2

x2相切，E為切點(diǎn)，
∴直線BE的斜率k=y'|_x=4=4
∴直線BE的方程是y-8=4（x-4）即y=4x-8
∵AB=3，且AB關(guān)于y軸對(duì)稱，∴B的橫坐標(biāo)是xB=

3

2

，
又點(diǎn)B在直線y=4x-8上
∴點(diǎn)B的縱坐標(biāo)是yB=4×

3

2

-8=-2
∴h=y_E-y_B=8-（-2）=10
即容器的高為10厘米   
（Ⅱ）∵EF=8，E點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4，∴F點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-4．
S_梯形ABEF=

(AB+EF)•h

2

=

(3+8)×10

2

=55
∵直線EF方程為y=8，
∴拋物線y=

1

2

x2與直線EF所圍曲邊圖形面積S₀=∫_-4⁴（8-

1

2

x2）dx=（8x-

1

6

x3）|_-4⁴=

128

3

∴容器橫斷面的面積S=S_梯形ABEF-S₀=55-

128

3

=

37

3

∴這個(gè)容器橫斷面的面積

37

3

平方厘米

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，函數(shù)在某點(diǎn)處的切線方程的求法，定積分的幾何意義，微積分基本定理及其應(yīng)用