Question

已知函數(shù)f（x）=-x²+2b|x|+6，x∈[-1，a]，且a＞-1，
（1）若a=0，b=3，求函數(shù)f（x）的值域；
（2）若b=3，且函數(shù)y=f（x）-11有三個不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
（3）若b是常數(shù)且|b|＞1，設(shè)函數(shù)y=f（x）的最大值為g（a），求g（a）的表達(dá)式．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì),函數(shù)的圖象與圖象變化

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）當(dāng)a=0，b=3時，f（x）=-x²-6x+6，根據(jù)x∈[-1，0]，利用函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)的值域．
（2）當(dāng)b=3時，f（x）=-x²+6|x|+6，函數(shù)y=f（x）-11=-x²+6|x|-5，數(shù)形結(jié)合求得函數(shù)y=f（x）-11有三個不同的零點(diǎn)時，實(shí)數(shù)a的取值范圍．
（3）f（x）=-x²+2b|x|+6的對稱軸為x=b，再分對稱軸在區(qū)間的左側(cè)、中間、右側(cè)三種情況，分別求得函數(shù)f（x）的最大值g（a），綜合可得結(jié)論．

解答： 解：（1）當(dāng)a=0，b=3時，f（x）=-x²-6x+6，
∵x∈[-1，0]，f（x）為減函數(shù)，
故當(dāng)x=-1時，f（x）取最大值11，當(dāng)x=0時，f（x）取最小值6，
故函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇6，11]．
（2）當(dāng)b=3時，f（x）=-x²+6|x|+6，
函數(shù)y=f（x）-11=-x²+6|x|-5，
其圖象如下圖所示：
由圖可得：若函數(shù)y=f（x）-11有三個不同的零點(diǎn)，
則實(shí)數(shù)a≥5，
即實(shí)數(shù)a的取值范圍為[5，+∞）．
（3）f（x）=-x²+2b|x|+6的對稱軸為x=b，
∵x∈[-1，a]，且a＞-1
①當(dāng)b＜-1時，函數(shù)f（x）在[-1，a]上是減函數(shù)，
函數(shù)y=f（x）的最大值為g（-1）=f（-1）=2b+5．
②當(dāng)-1≤b≤a時，函數(shù)y=f（x）的最大值為g（b）=f（b）=-b²+2b|b|+6．
③當(dāng)b＞a時，函數(shù)f（x）在[-1，a]上是增函數(shù)，
函數(shù)y=f（x）的最大值為g（a）=f（a）=-a²+2b|a|+6．
綜上可得，g（a）=

2b+5  ，b＜-1 -b2+2b|b|+6  ，-1≤b≤a -a2+2b|a|+6  ，b＞a

．

點(diǎn)評：本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．